ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10. Закон деформации кольца. Скорость звука

• $m = 1$, $n = -1$, $p = 2$, $q = -1$, $i = -3$: $\varepsilon = \dfrac{x}{D} = \beta\dfrac{FD^2}{Eh\delta^3}$; скорость звука в ПЭТ $c = 1450$ м/с (пример измерений, ворота 20%).

1. Закон деформации колец. Проанализируем уравнение (1). По закону Гука малые деформации пропорциональны силе: $\varepsilon \sim F$, поэтому $m = 1$.

Увеличение ширины кольца в два раза (при прочих равных параметрах кольца) можно представить как два кольца, расположенных рядом. Следовательно, для сохранения относительной деформации потребуется в два раза большая сила. Учитывая, что $m = 1$ получаем $\varepsilon \sim \dfrac{F}{h}$, $q = -1$.

Размерность модуля Юнга $[E] = \text{Н/м}^2 = \text{кг/(м} \cdot \text{с)}$. Для исключения размерности массы и времени (которые присутствуют в силе $F$ и модуле Юнга $E$) следует считать, что $\varepsilon \sim \dfrac{F}{E}$, поэтому $n = -1$.

Поскольку $\varepsilon$ – безразмерная величина, должно выполняться равенство:

С учётом найденных ранее коэффициентов получим:

Для определения показателя степени $p$ проведём эксперимент с двумя кольцами из ПЭТ. Измерим ширину $h$ и длину окружности $L = \pi D$ полиэтилентерефталатовых колец. Зная массу $m$ и плотность $\rho$ этих материалов, вычислим толщину колец $\delta = m/(\rho L h)$. Получим, что $\delta_2 \approx \delta_1$.

Сложим кольца в виде «восьмёрки» и стянем их ниткой. Деформирующая сила для обоих колец будет одинакова. Измеряем абсолютные деформации диаметров колец $x_1$, $x_2$ в этом случае.

По условию, ширина колец $h$ одинакова, поэтому для нахождения $p$ используем уравнение:

В нашем случае получилось уравнение $1{,}5^p = 2{,}3$. Его корнем является число $p \approx 2{,}05$. Так как по условию $p$ – целое число, то примем $p = 2$.

Показатель степени $i$ находим из уравнения: $i = -p - 1 = -3$.

Закон деформации кольца имеет вид:

Для справки, точная формула имеет вид:

(Ландау, Лифшиц, т. VII, Теория упругости).

2. Скорость звука. Деформацию кольца $x$ выражаем через скорость звука $c$ и массу кольца $m$:

Если кольца деформировать одной и той же силой, то для отношения скоростей звука получаем:

Деформируем кольца одинаковой силой (для этого достаточно расположить их в виде восьмёрки и стянуть одной и той же нитью). Измеряем их деформации ($x$ — для кольца из полиэтилентерефталата и $x_0$ — для кольца из алюминия. По полученным данным находим скорость звука в полиэтилентерефталате: $c = 1450$ м/с.

Примерные критерии оценивания

• Обоснован и получен результат $m = 1$. — 1
• Обоснован и получен результат $q = -1$. — 1
• Обоснован и получен результат $n = -1$. — 1
• Получено уравнение (5) — 1
• Указан способ деформирования колец одинаковой силой — 2
• Приведены измерения длин окружности $L_1$ и $L_2$ — 1
• Указано, что толщина колец $\delta = m/(\rho L h)$ — 1
• Приведены измерения деформаций $x_1$ и $x_2$ при одинаковой силе — 1
• Получен результат $p = 2$. — 1
• Найдено значение числа $i = -3$ — 1
• Записан закон деформации кольца (6) — 1
• Указаны способ нахождения скорости звука в ПЭТ (например формула (7)) — 1
• Приведены результаты измерений деформаций колец из разных материалов — 1
• Получен ответ для скорости звука $c$ с точностью 20% — 1