Съдържание

Олимпиада Максвелла XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике Условие Теоретическая часть:Экспериментальная часть:Отговори Решение

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9. Цепная линия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла; XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. Методическое пособие. МФТИ, 2013/2014 уч.г.

Олимпиада Максвелла — титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете
Всероссийских олимпиад школьников

Олимпиада Максвелла

Региональный этап

Экспериментальный тур

Методическое пособие

МФТИ, 2013/2014 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

7 класс	8 класс
1. Бабинцев В.	1. Калда Я., Меняйлов М.
2. Замятнин М.	2. Замятнин М.

Общая редакция — Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

7 класс

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Экспериментальный тур

7 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете
Всероссийских олимпиад школьников

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Экспериментальный тур

Методическое пособие

МФТИ, 2013/2014 уч.г.

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Калда Я., Меняйлов М.	1. Воробьёв И.	1. Воробьёв И.
2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.	2. Гуденко А.

Общая редакция — Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур

9 класс

Условие

Цепной линией называют кривую, образуемую подвешенной за концы однородной массивной нитью. Пусть погонная плотность нити (масса единицы длины нити) $\mu$ , а её натяжение в нижней точке $T_0$ . Величина $\lambda = T_0/\mu g$ является параметром, определяющим форму цепной линии. Если начало координат поместить в низшей точке цепной линии, то её можно задать уравнением:

y = \lambda\left[\frac{1}{2}\left(e^{x/\lambda} + e^{-x/\lambda}\right) - 1\right].

От Вас не требуется вывод зависимости вертикальной координаты $y$ точки нити от горизонтальной координаты $x$ . Вам следует разобраться в связи $y$ и $s$ , где $s$ — длина отрезка нити, отсчитываемая от низшей точки. Теоретическую зависимость Вы должны проверить, проведя измерения с цепочкой из скрепок.

Теоретическая часть:

Цепная линия (провисшая нить) с низшей точкой, от которой влево направлена сила T₀; вдоль нити от низшей точки отмерена длина s до точки, в которой по касательной направлена сила T; вертикальная стрелка y — высота этой точки над горизонтальной пунктирной линией через низшую точку; слева стрелка вниз g⃗. — Рис. 3

1. Пусть натяжение нити в нижней точке равно $T_0$ . Для малого отрезка нити длиной $\Delta s$ получите выражение для разницы сил натяжения $\Delta T$ на его концах, выразив его через $\mu$ , и разность высот $\Delta y$ концов отрезка.

2. Получите выражение для натяжения $T$ нити на высоте $y$ относительно нижней точки при заданном $T_0$ ?

3. Докажите, что если верхняя точка нити длины $s$ возвышается над низшей точкой на высоту $y$ (рис. 3), то

\lambda = \frac{T_0}{\mu g} = \frac{s^2 - y^2}{2y}.

Экспериментальная часть:

4. Соберите из выданных вам скрепок цепочку. Подвесьте склеенный лист бумаги и цепочку на бруске так, чтобы максимальный провис $H$ составлял $(0{,}3 \div 0{,}5)L$ , где $L$ — расстояние между точками подвеса цепочки. Укажите выбранное вами значение $H/L$ , число скрепок $n$ и длину $l$ скрепки (расстояние между точками соприкосновения её с соседними скрепками).

5. Отметьте фломастером на листе бумаги положения последовательных точек соприкосновения скрепок, начав с низшей точки (считайте её нулевой). Определите высоты этих точек, и результаты измерений занесите в таблицу.

6. Для каждой точки рассчитайте по измеренным высотам $y_i$ и номеру $n_i$ значения параметра $\lambda$ .

7. Укажите номера скрепок, для которых проявляется заметное отличие реальной цепочки от идеальной (заметное отличие параметра $\lambda$ от его среднего значения).

8. Вычислите среднее значение $\lambda$ .

9. Вычислите среднее отклонение от среднего значения $\lambda$ .

10. Найдите отношение натяжения в нижней точке к весу одной скрепки:

\tau = \frac{T_0}{mg}.

Указание: на выданном вам листе отметьте и пронумеруйте точки сцепления скрепок, подпишите рядом их высоты, а результаты измерений и их обработки представьте в таблице. Лист подпишите. По окончании тура вложите его в тетрадь с отчетом о проделанной работе и сдайте вместе с нею.

Оборудование. 30–40 скрепок, лист бумаги формата А2, пенополиуретановый плинтус или деревянный брусок длиной 70–100 см (для крепления бумаги и цепочки: он кладётся на край стола, а цепочка и бумага свисают ниже столешницы), фломастер, 4 «силовые» металлопластиковые кнопки, линейка длиной 40 см.

Отговори

Решение

Для малого отрезка нити длиной $\Delta s$ с углом наклона $\alpha$ к горизонтали разница сил натяжения на концах $\Delta\vec{T} = -\mu\vec{g}\Delta s$ , а изменение величины силы натяжения равно проекции вектора $\Delta\vec{T}$ на направление вектора $\vec{T}$ :

\Delta T = |\Delta\vec{T}|\sin\alpha = \mu g\Delta s\sin\alpha = \mu g\Delta y.

На высоте $y$ натяжение нити $T = T_0 + \mu g y$ .
Рассмотрим отрезок нити от нижней нулевой точки до точки, находящейся на высоте $y$ при длине отрезка $s$ . Пусть $T$ натяжение в этой точке, а $T_x$ и $T_y$ его проекции на горизонталь и вертикаль. Запишем условие равновесия нити в проекциях на горизонталь и вертикаль: $T_x = T_0$ и $T_y = \mu g s$ . Отсюда

T^2 = T_0^2 + (\mu g s)^2. \qquad (4)

После подстановки $T = T_0 + \mu g y$ в уравнение (4) находим

\lambda = \frac{T_0}{\mu g} = \frac{s^2 - y^2}{2y}.

Отметим $H/L$ , число скрепок $n$ . Для повышения точности длину одной скрепки $l$ измеряем по длине натянутого отрезка цепочки из 30–40 скрепок.
Если цепочка скрепок подвешена на небольшом расстоянии от миллиметровой бумаги, то положение точек соприкосновения можно отметить с точностью 0,5–1 мм.
Рассчитываем $\lambda$ по формуле:

\lambda = \frac{(n_i l)^2 - y_i^2}{2y_i}.

Результаты эксперимента приведены в таблице.

Таблица 2: результаты измерений.

№	$y$ (мм)	$\lambda$ (мм)	$\Delta\lambda$ (мм)
1	8	39
2	11	119
3	18	161	4
4	31	160	5
5	45	166	1
6	60	175	10
7	79	172	7
8	99	171	6
9	120	170	5
10	143	168	3
11	163	172	7
12	185	172	7
13	207	175	10
14	231	167	2
15	256	172	7
16	280	167	2
17	304	172	7
18	330	170	5
19	355	149	16
20	369	156	9

$H/L = 370/660 = 0{,}56$ ,
$n = 42$ скрепки,
$l = 25{,}9$ мм,
$\lambda_{\text{ср}} = 165$ мм, $(\Delta\lambda)_{\text{ср}} = 6$ мм.
$\tau_{\text{ср}} = 6{,}33$ , $\varepsilon_\tau = 4\%$ .

Для первых двух нижних скрепок заметное отличие $\lambda$ от теоретического значения. Эти значения $\lambda$ исключены из определения среднего. Разброс для $\lambda$ сопоставим с тем, что следует из погрешности измерения $y$ (2%) и «сдвига» на 1 и 2 скрепки.

Вывод: цепочка скрепок в целом адекватно моделирует цепную линию, за исключением ближней окрестности нижней точки

Примерные критерии оценивания

Пункт 1 задания — 2
Пункт 2 задания — 1
Пункт 3 задания — 1
Указано $H/L$ , число скрепок $n$ — 1
Длина $l$ измерена с точностью хотя бы 0,1 мм — 1
Наличие 15 или более отмеченных точек с указанием высот и номера (не обязательно подряд) — 1
Выведена формулы для $\lambda$ через $n_i$ и $l_i$ — 1
Наличие таблицы с данными и обработкой не менее 15 точек — 2
Указано, для каких скрепок имеется заметное отклонение от теоретического значения — 1
Попадание в ворота для среднего значения $\lambda$ — 2
Попадание в ворота по $(\Delta\lambda)_{\text{ср}}$ — 1
Найдено $\tau = T_0/mg = \lambda_{\text{ср}}/l$ — 1

Оригинал в Архива: region14E.pdf

№	$y$ (мм)	$\lambda$ (мм)	$\Delta\lambda$ (мм)
1	8	39
2	11	119
3	18	161	4
4	31	160	5
5	45	166	1
6	60	175	10
7	79	172	7
8	99	171	6
9	120	170	5
10	143	168	3
11	163	172	7
12	185	172	7
13	207	175	10
14	231	167	2
15	256	172	7
16	280	167	2
17	304	172	7
18	330	170	5
19	355	149	16
20	369	156	9

№	$y$ (мм)	$\lambda$ (мм)	$\Delta\lambda$ (мм)
1	8	39
2	11	119
3	18	161	4
4	31	160	5
5	45	166	1
6	60	175	10
7	79	172	7
8	99	171	6
9	120	170	5
10	143	168	3
11	163	172	7
12	185	172	7
13	207	175	10
14	231	167	2
15	256	172	7
16	280	167	2
17	304	172	7
18	330	170	5
19	355	149	16
20	369	156	9

№	$y$ (мм)	$\lambda$ (мм)	$\Delta\lambda$ (мм)
1	8	39
2	11	119
3	18	161	4
4	31	160	5
5	45	166	1
6	60	175	10
7	79	172	7
8	99	171	6
9	120	170	5
10	143	168	3
11	163	172	7
12	185	172	7
13	207	175	10
14	231	167	2
15	256	172	7
16	280	167	2
17	304	172	7
18	330	170	5
19	355	149	16
20	369	156	9