Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 23. Много катушек

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

Тетраэдр, рёбра которого — катушки с индуктивностями L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L; от двух вершин отходят выводы A и B. — Рис. 18

Шесть идеальных катушек индуктивности соединили в электрическую цепь так, что катушки образовали ребра тетраэдра (рис. 18). К вершинам $A$ и В подсоединили последовательно соединенные резистор сопротивлением $R = 100$ Ом, батарейку с ЭДС $\mathscr{E} = 4{,}6$ В, миллиамперметр и ключ. Индуктивность катушки $L = 1$ мГн. Взаимной индуктивностью катушек пренебречь.

1. Вычислите силу тока $I_{60}$ , протекающего через миллиамперметр спустя 1 минуту после замыкания ключа.

2. Вычислите силу тока, протекающего через каждую из катушек в тот момент, когда сила тока, протекающего через миллиамперметр, равна $I_{\text{А}} = 23$ мА.

Отговори

Решение

Система катушек в тетраэдре имеет индуктивность порядка $L$ . Характерное время установления токов в системе равно $L/R = 10^{-5}$ с. Таким образом, за минуту в цепи переходные процессы прекратятся и искомая сила тока $I_{60} = \mathscr{E}/R = 46$ мА.

Перерисованная схема: три параллельные ветви — верхняя катушка L с током I1; средняя — катушки 2L (I2) и 4L (I4); нижняя — катушки 3L (I3) и 6L (I6); между серединами средней и нижней ветвей катушка 5L с током I5; внизу последовательно источник ℰ, резистор R, миллиамперметр mA и ключ. — Рис. 37

Перерисуем схему в виде, более удобном для анализа (рис. 37).

Для любой катушки индуктивности ЭДС самоиндукции

\mathscr{E}_i = -L\frac{dI}{dt}.

Рассмотрим контура, которые не содержат батареек. Для примера рассмотрим контур из катушек $2L$ , $5L$ , $3L$ . Запишем второй закон Кирхгофа:

-2L\frac{dI_2}{dt} + 5L\frac{dI_5}{dt} + 3L\frac{dI_3}{dt} = 0,

-2L\Delta I_2 + 5L\Delta I_5 + 3L\Delta I_3 = 0.

Первый способ. Учитывая, что все токи вначале равны нулю, получаем:

-2I_2 + 5I_5 + 3I_3 = 0. \qquad (22)

Записывая аналогичные равенства для других контуров получаем ещё два уравнения:

-I_1 + 4I_4 + 2I_2 = 0, \qquad (23)

-4I_4 - 5I_5 + 6I_6 = 0 \qquad (24)

Для узлов, к которым присоединена катушка $5L$ , применим первый закон Кирхгофа:

I_2 + I_5 = I_4, \qquad (25)

I_3 = I_5 + I_6. \qquad (26)

Решая систему уравнений (22), (23), (24), (25), (26) с учётом того, что суммарный ток через миллиамперметр равен $I_A = I_1 + I_2 + I_3 = 23$ мА, получим:

I_5 = 0\ \text{мА}, \quad I_2 = I_4 = 3\ \text{мА}, \quad I_3 = I_6 = 2\ \text{мА}, \quad I_1 = 18\ \text{мА}. \qquad (27)

Второй способ. По аналогии с уравнением (22) можно провести формальную замену катушек индуктивности резисторами, причём аналогами сопротивлений будут являться индуктивности катушек $L$ . Заметим, что катушки индуктивности $2L$ , $4L$ , $3L$ , $6L$ , $5L$ образуют сбалансированный мост, так как верно соотношение:

\frac{2L}{4L} = \frac{3L}{6L}.

Мост сбалансирован, поэтому ток через катушку $5L$ не течёт.

Индуктивности параллельных ветвей сверху вниз относятся как 1:6:9, следовательно, силы тока будут относиться как 9:1,5:1 соответственно. Ток через миллиамперметр равен 23 мА. Поэтому, получаем ответ (27).

Примерные критерии оценивания

Указано, что индуктивность системы порядка $L$ — 1
Указано, что характерное время равно $L/R = 10^{-}5 \ll 60$ с — 0,5
Получен ответ $I_{60} = 46$ мА — 0,5
Записан второй закон Кирхгофа для одного из контуров, состоящего только из катушек — 1
Показано, что для контура, содержащего только катушки, верно соотношение, аналогичное (22) — 2

Первый способ

Получены уравнения для трех разных контуров, состоящих только из катушек (по 0,5 балла за каждое) — 1,5
Записан первый закон Кирхгофа для двух узлов (по 0,5 балла за каждый) — 1
Записано выражение для суммарного тока через миллиамперметр — 0,5
Получен ответ для сил токов через катушки — 2

Второй способ

Указано, что мост сбалансирован, ток через катушку $5L$ не течёт — 2
Найдено отношение индуктивностей в параллельных ветвях — 1
Получен ответ для сил токов через катушки — 2

Оригинал в Архива: region14T.pdf