Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 22. Конденсаторы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

Параметры электрической цепи указаны на схеме (рис. 17). Вначале ключ $K$ разомкнут.

Схема из трёх параллельных ветвей между общими верхним и нижним проводами: левая — конденсатор C, резистор R, источник ℰ; средняя — конденсатор 3C, резистор 3R; правая — конденсатор 2C, резистор 2R, источник 2ℰ; в нижнем проводе между средней и правой ветвями ключ K. — Рис. 17

1. Определите напряжение на конденсаторе емкостью $C$ .

2. Определите силу тока, который потечёт через резистор сопротивлением $3R$ , сразу после замыкания ключа $K$ .

3. Какое напряжение установится на конденсаторе емкостью $C$ после того, как переходные процессы в цепи завершатся?

Отговори

Решение

Вначале в замкнутом контуре, состоящем из емкостей $C$ и $3C$ , ток не протекал. На рис. 34 изображена эквивалентная схема этой цепи. Суммарный заряд, сосредоточенный на верхних обкладках конденсаторов $C$ и $3C$ , равен нулю. Значит,

\mathscr{E} = \frac{q}{C} + \frac{q}{3C} = \frac{4q}{3C}.

Эквивалентная схема до замыкания ключа: контур из конденсаторов C и 3C и источника ℰ, со знаками зарядов на обкладках. — Рис. 34

После алгебраических преобразований найдём искомое напряжение:

U_C = \frac{q}{C} = \frac{3}{4}\mathscr{E}.

Сразу после замыкания ключа $K$ , заряд и напряжение на конденсаторе $2C$ равны нулю. Согласно второму закону Кирхгофа для контура №1 (рис. 35) запишем:

\mathscr{E} = -I_1R + U_C + U_{3C} + I_3\cdot 3R. \qquad (21)

Поскольку $\mathscr{E} = U_C + U_{3C}$ , уравнение (21) примет вид:

I_1R = I_3\cdot 3R, \quad \text{или} \quad I_1 = 3I_3.

Схема сразу после замыкания ключа: ветви C–R–ℰ, 3C–3R, 2C–2R–2ℰ, ключ K; токи I1 (вниз в левой ветви), I3 (вниз в средней), I2 (вверх в правой); контуры 1 и 2 со стрелками обхода; знаки зарядов на конденсаторах. — Рис. 35

Согласно второму закону Кирхгофа для контура №2 запишем:

2\mathscr{E} = I_2\cdot 2R + U_{3C} + I_3\cdot 3R, \quad \text{или} \quad \frac{7\mathscr{E}}{4R} = 2I_2 + 3I_3.

По первому закону Кирхгофа $I_2 = I_1 + I_3 = 4I_3$ . Тогда

I_3 = \frac{7\mathscr{E}}{44R}.

После того, как переходные процессы завершатся, ток по контурам течь не будет. На рис. 36 изображена эквивалентная схема этой цепи. Суммарный заряд, сосредоточенный на верхних обкладках конденсаторов $C$ , $2C$ и $3C$ , равен нулю:

q_1 + q_2 = q_3.

Эквивалентная схема после завершения переходных процессов: конденсаторы C, 3C, 2C и источники ℰ, 2ℰ, ключ K; контуры 1 и 2 со стрелками обхода; знаки зарядов на обкладках. — Рис. 36

Для контура №1:

\mathscr{E} = \frac{q_1}{C} + \frac{q_3}{3C}.

Для контура №2:

2\mathscr{E} = \frac{q_2}{2C} + \frac{q_3}{3C}.

Решая полученную систему уравнений, найдем

q_1 = \frac{1}{6}C\mathscr{E}, \quad U_1 = \frac{q_1}{C} = \frac{1}{6}\mathscr{E}.

Примерные критерии оценивания

До замыкания ключа:

Найдено напряжение на конденсаторе $C$ до замыкания ключа — 2

Сразу после замыкания ключа:

Записаны вторые законы Кирхгофа для двух различных контуров — 2
Записан первый закон Кирхгофа — 1
Определена сила тока, текущего через резистор $3R$ сразу после замыкания ключа — 1

После прекращения всех переходных процессов:

Записан закон сохранения заряда — 1
Записаны вторые законы Кирхгофа для двух различных контуров — 2
Найдено напряжение на конденсаторе ёмкостью $C$ — 1

Оригинал в Архива: region14T.pdf