Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9. Опасная затея

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

Доска массой $m$ лежит, выступая на $3/7$ своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски $L = 1$ м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей (рис. 1) прикреплен противовес, имеющий массу $4m$ . На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой $3m$ , чтобы доска оставалась горизонтальной?

Доска из семи частей длиной L лежит на краю обрыва (штриховка), с подписями L, m и 3m (человек на доске); выступающий правый конец доски привязан к нити, перекинутой через блок, закреплённый вверху, и через систему блоков к противовесу 4m, висящему внизу. — Рис. 1

Отговори

Решение

Из невесомости блоков и нитей, найдём связь между силами натяжения нитей (рис. 19). Заметим, что равновесие может нарушиться как при опрокидывании доски относительно края обрыва, так и при подъёме правого края вверх. Расставим силы, действующие на доску и в системе. Из условия равновесия нижнего блока $4T = 4mg$ , или $T = mg$ . Рассмотрим случай, когда доска опрокидывается влево (правый конец идёт вверх), тогда сила реакции опоры приложена к левому краю доски ( $N_1$ на рис. 19). Запишем правило моментов для сил, приложенных к левому краю доски, относительно этой точки:

mg\frac{7L}{2} + 3mg(4L + x_1) + T\cdot 6L = 2T\cdot 7L, \quad \text{откуда} \quad x_1 = -\frac{5L}{2} < 0,

то есть человек может на 2,5 м зайти от края обрыва влево.

Силы в системе: доска на краю обрыва с реакциями опоры N1 (левый край) и N2 (край обрыва), силой тяжести mg и весом человека 3mg на расстоянии x от края; натяжения нитей T, 2T у блоков; нижний подвижный блок с грузом 4mg, подвешенный на двух нитях 2T. — Рис. 19

Теперь рассмотрим случай, когда доска опрокидывается вправо (правый конец идёт вниз), тогда сила реакции опоры приложена к точке, находящейся на расстоянии $4L$ от левого края доски ( $N_2$ на рис. 19). Запишем правило моментов для сил, приложенных к доске, относительно этой точки:

mg\frac{L}{2} + 2T\cdot 3L = 3mgx_2 + T\cdot 2L, \quad \text{откуда} \quad x_2 = \frac{3L}{2} > 0,

то есть человек может на 1,5 м выйти вправо за край обрыва. При нахождении человека между этими крайними точками система будет в равновесии, а сила реакции опоры $N$ будет приложена где-то между рассмотренными крайними положениями.

Примерные критерии оценивания

Указаны все силы (кроме силы реакции опоры), действующие на доску, и их точки приложения — 1
Найдены силы натяжения нитей — 1
Указана точка приложения силы реакции опоры в случае, когда правый конец доски поднимается — 1,5
Записано правило моментов для первого случая — 1,5
Найдено расстояние $x_1$ — 1
Указана точка приложения силы реакции опоры в случае, когда правый конец доски опускается — 1,5
Записано правило моментов для второго случая — 1,5
Найдено расстояние $x_2$ — 1

Оригинал в Архива: region14T.pdf