Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Диффузия гелия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур

Условие

Воздушный шарик, накачанный гелием, относительно быстро сдувается (за несколько часов его объём уменьшается в два раза). Это связано с диффузией гелия через резиновую оболочку шарика. Плотность потока $j$ гелия (число молекул, проникающих через единичную площадку резины в единицу времени) определяется законом Фика:

j = D\frac{\Delta n}{\delta},

где $D$ — коэффициент диффузии гелия через резину, $\delta$ — толщина оболочки надутого шарика, $\Delta n = n - n_0$ — разность концентрации $n$ гелия внутри шарика и $n_0$ вне.

Задание. Определите коэффициент диффузии $D$ гелия через резину. Считайте, что шарик проницаем только для гелия, то есть воздух не проникает внутрь шарика. Убедитесь в этом экспериментально.

Молярная масса воздуха и гелия $\mu_\text{воз} = 29$ г/моль, $\mu_\text{He} = 4$ г/моль. Давление в шарике считайте равным атмосферному давлению в аудитории $p_0 = 10^5$ Па. Температура в аудитории $t = 27^{\circ}\mathrm{C}$ , плотность резины $\rho_\text{рез} = 1{,}05$ г/см $^3$ , ускорение свободного падения $g = 9{,}8$ м/с $^2$ . Считайте, что при надувании шарика плотность резины не меняется и утечкой гелия через узел можно пренебречь

Оборудование. Два одинаковых резиновых шарика, один из которых накачан гелием; весы; три груза (гайки); бумажная измерительная лента; миллиметровая бумага; секундомер; ножницы (по требованию).

Отговори

Решение

Пусть $S$ — площадь поверхности шарика, $V$ — его объём, $\rho_0$ — плотность воздуха, $\rho_\text{He}$ — плотность гелия. За время $t$ через поверхность шарика в атмосферу выйдет

Надутый шарик (круг с диаметром d, переходящий в конус с ребром l, пунктиром показан контур) на нити, привязанной к грузу (гайке), который стоит на весах на столе. — Рис. 7

\Delta N = jSt = \frac{DSnt}{\delta} = \frac{DSNt}{V\delta}

молекул гелия (внутри шарика концентрация $n = N/V$ , вне шарика концентрацию гелия считаем равной нулю: $n_0 = 0$ ). За небольшое время относительное уменьшение объёма $\Delta V/V = \Delta N/N = DSt/V\delta$ . Соответственно, относительное уменьшение подъёмной силы $F_\text{п} = (\rho_0 - \rho_\text{He})Vg$ равно: $\Delta F_\text{п}/F_\text{п} = \Delta V/V = SDt/V\delta$ . Тогда $\Delta F_\text{п} = DSF_\text{п}t/V\delta = DS(\rho_0 - \rho_\text{He})gt/\delta$ . Последняя формула даёт закон изменения (уменьшения) подъёмной силы с течением времени: $\Delta F_\text{п} = \Delta F_\text{п}(t)$ .

Прикрепим к шарику, заполненному гелием, груз и взвесим его на весах (рис. 7). Сила тяжести груза превышает подъёмную силу шарика. Груз давит на весы с силой равной разности силы тяжести, действующей на груз, оболочку и нить, и подъёмной силы шарика $F = m_\text{г}g - F_\text{п}$ . Поскольку с течением времени подъёмная сила уменьшается, то показания весов увеличиваются по закону

m(t) = \frac{F}{g} = m_0 + \beta t, \quad \text{где} \quad \beta = DS(\rho_0 - \rho_\text{He})/\delta.

Коэффициент $\beta$ можно определить экспериментально по наклону графика $m(t)$ . Зная $\beta$ , коэффициент $D$ рассчитываем по формуле

D = \beta\delta/S(\rho_0 - \rho_\text{He}).

Толщина $\delta$ измеряется делением массы растягивающейся поверхности на её площадь и на плотность резины:

\delta = m_\text{об}/S\rho_\text{рез}.

По данным из таблицы 1 строим график зависимости показаний весов от времени (рис. 8) и по угловому коэффициенту наилучшей прямой определяем величину $\beta$ :

\beta = 11{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{г/с}.

$m$ , г	6,27	6,31	6,34	6,34	6,38	6,39	6,40	6,39	6,44
$t$ , мин	0	2	4	6	8	10	12	15	20
$m$ , г	6,49	6,52	6,56	6,59	6,61	6,64	6,67	6,69
$t$ , мин	25	30	35	40	45	50	55	60

Таблица 1: экспериментальные данные.

График показаний весов m, г (от 6,25 до 6,75) в зависимости от времени t, мин (от 0 до 60): экспериментальные точки с погрешностями и наилучшая прямая, на сетке. — Рис. 8

Площадь поверхности шара оценим, приближая её полусферой и конусом: $S = (\pi d^2 + \pi ld)/2$ , где $d$ — диаметр обхвата шарика, $l$ — длина ребра. Результаты измерений:

\pi d = 70{,}0\ \text{см}, \quad l = 22{,}0\ \text{см},

откуда $S = 0{,}155$ м $^2$ . Для оценки толщины резины $\delta$ измеряем массу растягивающейся части шарика $m = 2{,}30$ г и делим на площадь и плотность (объём резины при растяжении считаем неизменным), получаем $\delta = 0{,}0141$ мм. Нужно также учесть, что хвостик шарика не растягивается в ходе эксперимента, поэтому его надо отрезать при измерении массы второго шарика. Плотность воздуха $\rho_0 = \mu_\text{в}p_0/RT = 1{,}16$ кг/м $^3$ . Плотность гелия $\rho_\text{He} = 0{,}16$ кг/м $^3$ . Искомый коэффициент диффузии

D = 1{,}02\cdot 10^{-7}\ \text{см}^2/\text{с}.

Чтобы убедиться в том, что в шарик не попадает воздух, достаточно оценить объём шарика в конце эксперимента. Если воздух не проникал в шарик в ходе эксперимента, то подъёмная сила, вычисленная по формуле для силы Архимеда (в предположении, что в шарике гелий) и измеренная экспериментально, должны быть равны. Объём шарика рассчитаем, разбив его на полусферу и конус: $V = \pi d^2(d + \sqrt{l^2 - (d/2)^2})/12$ .

Учитывая предыдущие значения, а также вычисляя по теореме Пифагора высоту конуса, находим: $V = 53{,}6\cdot 10^2$ см $^3$ .

Величину подъёмной силы измерить просто — достаточно придержать шарик, чтобы измерить массу груза. Она равна 10,00 г. Масса пустого шарика — 3,00 г. Тогда подъемная сила в конце эксперимента (через 1,5 часа) равна 6,31 г. Если учесть, что разница плотностей примерно равна 1 г/л, то в пределах погрешности шарик по-прежнему заполнен только гелием.

Оригинал в Архива: finalE14.pdf