Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. Ток в пробирке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур

Условие

Большинство стёкол состоят из $\mathrm{SiO_2}$ , CaO и оксидов щелочных металлов ( $\mathrm{Na_2O}$ или $\mathrm{K_2O}$ ). Присутствие катионов щелочных металлов обеспечивает слабую проводимость стекла. Но в отличие от электронов в металле, катионы в стекле не могут двигаться свободно: чтобы «перескочить» в новое место, катион должен обладать энергией большей, чем некоторый потенциальный барьер — энергия активации $W_a$ . Количество подвижных катионов, то есть катионов с энергией большей $W_a$ , при температуре порядка комнатной согласно закону Больцмана:

N \propto \exp\left(-\frac{W_a}{kT}\right),

где $k = 1{,}38\cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана. Проводимость стекла $\sigma$ пропорциональна количеству подвижных катионов, соответственно, удельное сопротивление $\rho$ — обратно пропорционально:

\rho = \rho_0 \exp\left(\frac{W_a}{kT}\right), \qquad (1)

где $\rho_0$ — некоторый постоянный коэффициент.

1. Снимите зависимость удельного сопротивления стекла пробирки $\rho(t)$ от температуры в диапазоне от $t_1 = 45^{\circ}\mathrm{C}$ до $t_2 = 75^{\circ}\mathrm{C}$ (не менее 15 точек).

2. Определите энергию активации $W_a$ катионов в стекле пробирки и выразите её в электронвольтах. Элементарный заряд $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}$ Кл.

Примечание. Внутреннее сопротивление $R_M$ мультиметра на различных диапазонах приведено в таблице. Погрешность $R_M$ составляет 1 %.

Диапазон	$R_M$ , Ом
10 А	1
200 мА	10
20 мА	20
2000 мкА	100
200 мкА	$10^3$
Все диапазоны вольтметра V	$10^6$

Оборудование. Стеклянная пробирка (толщина стенок $\delta = 1{,}10\pm 0{,}05$ мм), пластмассовый стакан, пенопластовая крышка, термометр, мультиметр, миллиметровая бумага, линейка, батарейка «Крона», клеммы, провод, горячая вода по требованию, салфетка.

Отговори

Решение

Удельное сопротивление стекла $\rho$ можно определить, измеряя сопротивление системы вода–пробирка–вода (рис. 9). Убедимся, опустив в воду клеммы мультиметра в режиме омметра что удельное сопротивление воды достаточно мало. Растворённые в воде соли делают её идеальным проводником по сравнению со стеклом, поэтому сопротивление такой системы будет равно сопротивлению пробирки $R$ :

R = \rho\frac{\delta}{S}, \qquad (3)

где $\delta$ — толщина стекла пробирки, а $S$ — площадь поверхности пробирки.

Как известно, стекло плохо проводит ток, поэтому разумно ожидать, что сопротивление $R$ окажется большим. Действительно, прямые измерения мультиметром в режиме омметра даже на самом большом диапазоне не позволяют определить сопротивление пробирки (мультиметр зашкаливает). Можно заключить, что $R > 1$ МОм.

Пробирка, погружённая в воду; внутри пробирки и снаружи в воде электроды «+» и «−»; обозначены длина погружённой части l, толщина стенки δ, внутренний диаметр d, внешний диаметр D и радиус дна r. — Рис. 9

Установка: пробирка с термометром внутри стоит в сосуде с водой; последовательно с пробиркой включены батарейка ℰ и мультиметр-вольтметр V с внутренним сопротивлением RV (в пунктирной рамке). — Рис. 10

Если мы подключим к электродам батарейку с $\mathscr{E} = 9$ В, то сила тока, протекающего через стекло:

I = \frac{\mathscr{E}}{R} < 10\ \text{мкА},

что нельзя измерить мультиметром в режиме миллиамперметра.

Чтобы измерить очень малый ток воспользуемся тем фактом, что в режиме милливольтметра у мультиметра внутреннее сопротивление $R_V = 1{,}0$ МОм. Тогда подключив его последовательно с пробиркой (рис. 10), можно по его показаниям $U$ найти значение тока и, следовательно, сопротивление пробирки:

I = \frac{U}{R_V}, \qquad \text{откуда} \qquad R = \frac{\mathscr{E} - U}{I} = \frac{\mathscr{E} - U}{U}R_V = \frac{\mathscr{E}}{U}R_V, \qquad (4)

так как $U \ll \mathscr{E}$ .

Соберём установку, поместим термометр внутрь пробирки, нальём горячую воду и будем снимать зависимость показаний мультиметра в режиме милливольтметра $U$ от температуры $t$ по мере остывания. Значение $R$ найдём по формуле (4), предварительно определив точное значение $\mathscr{E}$ мультиметром. Стоит обратить внимание на то, чтобы часть пробирки, не погружённая в воду, оставалась сухой. Водная плёнка на поверхности пробирки может закоротить схему, и измеряемое сопротивление будет значительно меньше.

Чтобы получить значения удельного сопротивления, зная $R$ , необходимо измерить геометрические параметры пробирки. Толщина $\delta$ дана в условии, а внешний диаметр можно получить прокатив пробирку по миллиметровке. Если пробирка совершила $n$ оборотов и прошла расстояние $L_D$ , то внешний диаметр:

D = \frac{L_D}{\pi n}.

Площадь $S$ можно оценить, представив пробирку как тонкостенный цилиндр длины $l$ со средним радиусом $r = (D - \delta)/2$ с полусферическим дном того же радиуса. В этом случае площадь поверхности:

S = 2\pi rl + 2\pi r^2. \qquad (5)

Окончательно, найдём значения $\rho$ с использованием формул (3), (4) и (5) для разных значений температуры:

\rho = \frac{\mathscr{E}}{U}R_V\frac{2\pi r(l + r)}{\delta}.

Чтобы определить значение энергии активации, прологарифмируем (1):

\ln\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{W_a}{kT}.

Таким образом, график зависимости $\ln\rho(T^{-1})$ должен быть линеен (рис. 11), причём значение линейного коэффициента $\alpha = W_a/k$ . Зная значение коэффициента $\alpha$ , найдём энергию активации $W_a$ в электронвольтах:

W_a = \alpha\frac{k}{e}.

Для стекла пробирок, участвовавших в эксперименте, значение энергии активации составляло $W_a = 0{,}85 \pm 0{,}03$ эВ.

График ln ρ (от 19 до 24) в зависимости от T⁻¹, 10⁻³ K⁻¹ (от 2,8 до 3,2): экспериментальные точки лежат на возрастающей прямой. — Рис. 11

Оригинал в Архива: finalE14.pdf