Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.5. Разойдутся или нет? (Воробьёв И.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Две материальные точки с массами $m$ и $M$ ( $M > m$ ) и одинаковыми положительными зарядами $q$ находятся на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле $E$ , направленном от $m$ к $M$ (рис. 6). В начальный момент скорости точек равны 0. Найдите максимальное расстояние между точками при их дальнейшем движении. Считайте, что точки всё время движутся вдоль одной прямой.

Две точки на горизонтали: слева «q, m», справа «q, M», расстояние между ними l; над ними стрелка вектора E, направленная вправо. — Рис. 6

Отговори

Решение

Из второго закона Ньютона найдём ускорение точки массы $m$

a_1 = -k\frac{q^2}{mr^2} + \frac{qE}{m}

и ускорение точки массы $M$

a_2 = k\frac{q^2}{Mr^2} + \frac{qE}{M}.

Здесь $r$ — расстояние между точками, $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ , за положительное выбрано направление от $m$ к $M$ . Найдём относительное ускорение точек:

a_{\text{отн}} = a_2 - a_1 = k\frac{q^2}{r^2}\frac{M + m}{Mm} - qE\frac{M - m}{Mm}.

Таким же уравнением описывается движение точечного заряда $q$ массой $\mu = (M + m)/(Mm)$ , находящегося в поле неподвижного точечного заряда $q$ и в однородном поле $-E_1 = -E(M - m)/(M + m)$ . Будем рассматривать эту эквивалентную задачу. Потенциальная энергия заряда:

U(r) = k\frac{q^2}{r} + qE_1r.

График U(r): сплошная кривая с минимумом при r = l_0, пунктиром — гипербола и прямая (её слагаемые); горизонтальная линия U_0 пересекает кривую при r = l_1 и r = l_2. — Рис. 22

Из графика зависимости $U(r)$ (рис. 22) видим, что движение заряда происходит в ограниченной области $l_1 \leqslant r \leqslant l_2$ ; $l_1$ и $l_2$ — корни уравнения

U_0 = k\frac{q^2}{r} + qE_1r,

или

r^2 - \frac{U_0}{qE_1}r + \frac{kq}{E_1} = 0.

По теореме Виета произведение корней не зависит от $U_0$ и равно $l_1l_2 = l_0^2$ , где $l_0 = \sqrt{kq/E_1}$ . Таким образом, получаем, что если начальное расстояние $l$ меньше, чем $l_0$ , то расстояние между зарядами будет увеличиваться до максимального значения $l_0^2/l$ , а затем уменьшаться. Если же $l < l_0$ , то начальное расстояние и будет максимальным. При $l = l_0$ расстояние между зарядами меняться не будет.

Ответ: максимальное расстояние между зарядами равно $l$ при $l \geqslant \sqrt{kq/E_1}$ и равно $kq/lE_1$ при $l < \sqrt{kq/E_1}$ .

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf