Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Растяжение пружины (Гуденко А.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Тонкую лёгкую пружину, растянутую на некоторую величину $\Delta l_1$ , закрепили на гладком горизонтальном столе в точках $A$ и $B$ . Отношение периодов малых поперечных (рис. 7) и продольных (рис. 8) колебаний небольшого грузика, расположенного посередине пружины, равно $n_1 = 4$ . После того как деформацию пружины увеличили на $\Delta x = 3{,}5\ \text{см}$ , отношение периодов стало равно $n_2 = 3$ . Найдите длину нерастянутой пружины $l_0$ , а также значение деформации $\Delta l_1$ в первом и деформации $\Delta l_2$ во втором случаях. Считайте, что пружина в условиях опыта подчиняется закону Гука.

Пружина, закреплённая в точках A и B, с грузиком посередине; двойная стрелка перпендикулярно пружине — поперечные колебания. — Рис. 7

Пружина, закреплённая в точках A и B, с грузиком посередине; двойная стрелка вдоль пружины — продольные колебания. — Рис. 8

Отговори

Решение

Если жёсткость всей пружины длиной $l$ равна $k$ , то период продольных колебаний грузика можно найти по формуле:

T_{\parallel}^2 = 4\pi^2\frac{m}{4k},

где $m$ — масса грузика.

Уравнение движения грузика в поперечном направлении имеет вид:

m\varphi''\frac{l}{2} = 2F_{\text{упр}}\,\varphi = -2k\Delta l\varphi \iff \varphi'' + \frac{4k\Delta l}{ml}\varphi = 0.

Мы получили уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_{\perp}^2 = (4k\Delta l)/(ml)$ , их период:

T_{\perp}^2 = 4\pi^2\frac{ml}{4k\Delta l} = 4\pi^2\frac{m}{4k}\left(1 + \frac{l_0}{\Delta l}\right).

Отношение периодов:

\frac{T_{\perp}^2}{T_{\parallel}^2} = n^2 = 1 + \frac{l_0}{\Delta l}, \quad \text{откуда} \quad \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{1}{n^2 - 1}.

Поскольку $\Delta x = \Delta l_2 - \Delta l_1$ :

\frac{\Delta x}{l_0} = \frac{1}{n_2^2 - 1} - \frac{1}{n_1^2 - 1} = \frac{n_1^2 - n_2^2}{(n_2^2 - 1)(n_1^2 - 1)},

откуда

l_0 = \frac{(n_2^2 - 1)(n_1^2 - 1)}{n_1^2 - n_2^2}\Delta x = 60\ \text{см},

\Delta l_1 = \frac{l_0}{n_1^2 - 1} = 4\ \text{см},

\Delta l_2 = \frac{l_0}{n_2^2 - 1} = 7{,}5\ \text{см}.

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf