Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Наноплавление (Гуденко А.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Температура плавления массивного образца олова $t_0 = 232\,{}^{\circ}\text{С}$ . Температура плавления мельчайших оловянных шариков диаметром $d = 20\ \text{нм}$ оказывается на 25 градусов ниже и равна $t_d = 207\,{}^{\circ}\text{С}$ . Это так называемый размерный эффект, причём экспериментально установлено, что температура плавления зависит не только от размеров, но и от формы образца. При какой температуре будет плавиться оловянная фольга толщиной $h = d$ ?

Считайте, что атомы олова в приповерхностном слое толщиной в 2–3 межатомных расстояния обладают некоторой избыточной энергией по сравнению с энергией атомов в объёме, а теплота плавления $\lambda$ в пересчёте на один атом пропорциональна средней энергии связи $U$ атомов в веществе, которая, в свою очередь, пропорциональна абсолютной температуре $T$ фазового перехода (плавления): $\lambda \sim U \sim T$ .

Отговори

Решение

Уменьшение температуры плавления для нанобъектов связано с увеличением (при уменьшении объёма) доли приповерхностных атомов, обладающих избыточной энергией $\Delta U$ по сравнению с объёмными атомами. Для образцов различной формы эти доли оказываются разными. Для шариков доля атомов в приповерхностном слое толщиной $\delta$ :

\Delta N/N = \Delta V/V = \frac{4\pi R^2\delta}{4\pi R^3/3} = 3\delta/R = 6\delta/d.

Приведённая формула справедлива, если $\delta \ll d$ . Оценим толщину приповерхностного слоя. Объём, приходящийся на один атом олова равен:

v = \frac{1}{\rho}\frac{\mu}{N_A},

а следовательно характерное межатомное расстояние $a = \sqrt[3]{v} \approx 3{,}0\cdot 10^{-10}\ \text{м}$ . Приповерхностный слой в таком случае имеет размеры меньше 1 нм, что существенно меньше 20 нм.

Теплота плавления уменьшается на величину избыточной энергии всех приповерхностных атомов:

\Delta q_0 = \Delta U\Delta N = (\Delta UN)\,6\delta/d.

Новая теплота плавления:

q = q_0 - \Delta q_0 = q_0 - (\Delta UN)\,6\delta/d.

В пересчёте на атом:

\lambda = q/N = q_0/N - \Delta U(6\delta/d).

Учитывая, что $\lambda = q/N = \alpha T_d$ и $\lambda_0 = q_0/N = \alpha T_0$ ( $\alpha$ – коэффициент пропорциональности), получаем относительное понижение температуры плавления наношарика по сравнению с массивным образцом:

\Delta T_d/T_0 = \frac{\Delta U}{\alpha T_0}\frac{6\delta}{d}.

Доля атомов в приповерхностном слое толщиной $\delta$ фольги площадью $S$ :

\Delta N/N = \Delta V/V = \frac{2S\delta}{Sh} = 2\delta/h = 2\delta/d.

Соответственно, относительное понижение температуры плавления фольги:

\Delta T_h/T_0 = \frac{\Delta U}{\alpha T_0}\frac{2\delta}{d} = \Delta T_d/\Delta T_h = 3.

Это соотношение хорошо подтверждается экспериментально:

\Delta T_h = 1/3\,\Delta T_d \approx 8{,}30\,{}^{\circ}\text{C} \to t_h = t_0 - \Delta T_h \approx 223{,}7\,{}^{\circ}\text{C}.

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf