Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.3. Восьмёрка лорда Кельвина (Ерофеев И.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса $abefcbeda$ , произведённого над неизвестным количеством $\nu$ азота. В координатах $(C,T)$ , где $C$ — теплоёмкость газа, а $T$ — температура, график цикла представляет собой четыре отрезка (рис. 9). К сожалению, положение начала координат оказалось утраченным. Пояснительные записи указывали, что $C_d = 1{,}000\ \text{Дж/К}$ , $C_a = 0{,}715\ \text{Дж/К}$ , а также что

Диаграмма в координатах (T, C) без начала координат: верхний горизонтальный отрезок с точками d, e, f и нижний с точками a, b, c; стрелки на отрезках показывают направление обхода; вертикальные пунктиры соединяют d–a, e–b, f–c. — Рис. 9

T_c - T_b = 2(T_b - T_a) = 200\ \text{К}, \qquad \text{и} \qquad \frac{p_c}{p_a} = \frac{V_c}{V_a}.

1. Найдите работу газа $A$ за цикл и КПД цикла $\eta$ .

2. Определите значения температуры $T_a$ , $T_b$ и $T_c$ .

3. Нарисуйте график цикла в координатах $(p,V)$ и определите количество вещества $\nu$ .

Примечание. Процесс с постоянной теплоёмкостью $C$ называется политропным и для него справедливо соотношение:

pV^n = \mathrm{const},

где $n$ — постоянная, показатель политропы.

Отговори

Решение

Качественно изобразим процесс на графике в привычных $(p, V)$ координатах (рис. 23). График состоит из четырёх политроп: процессу $ab$ соответствует линия 12, $ef$ — 23, $cb$ — 34, $ed$ — 41. Также важно отметить, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме ( $T_2 = T_4 = T_b$ ).

Качественный график цикла в координатах (p, V): криволинейный четырёхугольник 1–2–3–4 со стрелками обхода 1→2→3→4→1; точки 2 и 4 лежат на пунктирной изотерме. — Рис. 23

Поскольку теплота, переданная газу в процессе с постоянной теплоёмкостью, равна $Q = C\Delta T$ , то в координатах $CT$ теплота процесса численно равна площади под графиком. Из графика в условии видно, что на участке 12 и 23 тепло подводится, а на участках 34 и 41 — отводится. Найдём подведённую теплоту $Q+$ и отданную теплоту $Q_-$ :

Q_+ = Q_{12} + Q_{23} = C_a(T_2 - T_1) + C_d(T_3 - T_2) = 271{,}5\ \text{Дж}.

Q_- = Q_{34} + Q_{41} = -C_a(T_3 - T_2) - C_d(T_2 - T_1) = -243\ \text{Дж}.

По первому началу термодинамики полная теплота в цикле равна работе, совершённой газом:

A = Q_+ + Q_- = 28{,}5\ \text{Дж}, \qquad \text{тогда} \qquad \eta = \frac{A}{Q_+} = 0{,}105.

Из уравнения политропы и уравнения состояния идеального газа $pV/T = \mathrm{const}$ следует связь между $T$ и $V$ :

TV^{n-1} = \mathrm{const}, \qquad \text{или} \qquad \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{1}{1-n}} = \frac{V}{V_0}. \qquad (20)

Запишем (20) для четырёх процессов:

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{1-n_a}} = \frac{V_1}{V_2}, \quad \left(\frac{T_2}{T_3}\right)^{\frac{1}{1-n_d}} = \frac{V_2}{V_3}, \quad \left(\frac{T_3}{T_4}\right)^{\frac{1}{1-n_a}} = \frac{V_3}{V_4}, \quad \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{\frac{1}{1-n_d}} = \frac{V_4}{V_1}.

Перемножим все равенства:

\left(\frac{T_1T_3}{T_2T_4}\right)^{\frac{n_a - n_d}{(1-n_a)(1-n_d)}} = 1, \qquad \text{откуда} \qquad T_1T_3 = T_2T_4 = T_2^2. \qquad (21)

Запишем (21), используя $T_2 = T_1 + T_0$ и $T_3 = T_1 + 3T_0$ , где $T_0 = 100\ \text{К}$ :

T_1(T_1 + 3T_0) = (T_1 + T_0)^2, \qquad \text{откуда} \qquad T_1 = T_0.

Таким образом, получим $T_1 = 100\ \text{К}$ , $T_2 = 200\ \text{К}$ и $T_3 = 400\ \text{К}$ .

Цикл в координатах x = ln V/V_0, y = ln p/p_0: параллелограмм (ромб) 1–2–3–4 со стрелками обхода; пунктиром проведены диагонали 1–3 и 2–4. — Рис. 24

Цикл в координатах (p, V): прямоугольник с вершинами 1 (V_0, p_0), 2 (V_0, 2p_0), 3 (2V_0, 2p_0), 4 (2V_0, p_0); пунктиры к осям. — Рис. 25

Найдём связь между показателем политропы $n$ и теплоёмкостью $C$ . Дифференцируя (20), найдём: $\Delta V$ и $\Delta T$ :

V^{n-1}\Delta T + (n - 1)TV^{n-2}\Delta V = 0, \qquad \text{откуда} \qquad \Delta V = \frac{\Delta T}{1 - n}\frac{V}{T}.

Запишем первый закон термодинамики:

\Delta Q = C\Delta T = \Delta U + A = \mathrm{C}_V\Delta T + p\Delta V = \mathrm{C}_V\Delta T + p\frac{\Delta T}{1 - n}\frac{V}{T}

(C - C_V)\Delta T = \frac{\Delta T}{1 - n}\frac{pV}{T} = \frac{\nu R\Delta T}{1 - n}.

Таким образом,

n = 1 - \frac{\nu R}{C - C_V} = \frac{C - C_p}{C - C_V}.

Взяв логарифм от уравнения политропы, получим:

\ln\frac{p}{p_0} + n\ln\frac{V}{V_0} = \mathrm{const},

откуда следует, что в координатах $xy$ , где $x = \ln V/V_0$ , а $y = \ln p/p_0$ , график политропы представляет прямую с наклоном $-n$ , следовательно, график всего цикла будет параллелограммом, у которого точки 2 и 4 лежат на прямой $x + y = \mathrm{const}$ (рис. 24). Из условия $p_1/p_3 = V_1/V_3$ находим, что точки 1 и 3 лежат на прямой $x - y = \mathrm{const}$ . Таким образом, диагонали параллелограмма перпендикулярны следовательно, график цикла является ромбом. Поскольку диагональ 13 ромба является биссектрисой, то углы наклона политроп в сумме дают $90^{\circ}$ , откуда следует, что произведение угловых коэффициентов равно 1:

n_an_d = \frac{C_p - C_a}{C_a - C_V}\cdot\frac{C_p - C_d}{C_d - C_V} = 1, \qquad \text{откуда} \qquad C_a + C_d = C_p + C_V = \nu(c_p + c_V),

где $c_p$ и $c_V$ — молярные теплоёмкости. Окончательно найдём:

\nu = \frac{C_a + C_d}{c_p + c_V} = 34{,}4\ \text{ммоль}.

Заметим, что $C_a = \nu c_v$ , а $C_d = \nu c_p$ , следовательно, цикл процесса состоит из двух изобар и двух изохор (рис. 25).

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf