Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.4. Электроудар (Варламов С.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

К горизонтальному непроводящему потолку на тонких металлических проволоках длиной $l = 1\ \text{м}$ на расстоянии $d = 10\ \text{см}$ друг от друга подвешены два одинаковых стальных шарика радиусом $r = 5\ \text{мм}$ и массой $m = 4\ \text{г}$ (рис. 10). В начальный момент шарики не заряжены и покоятся.

Два шарика массой m на проволоках длиной l, подвешенных к потолку на расстоянии d друг от друга; точки крепления соединены через источник напряжения U; стрелка g вниз. — Рис. 10

1. Определите период $T$ малых свободных колебаний шариков.

2. К точкам крепления проволок подключают источник напряжения $U$ с большим внутренним сопротивлением $R = 10^{15}\ \text{Ом}$ . При каком значении $U = U_{\min}$ шарики столкнутся через некоторое время?

3. Найдите время $t_0$ , через которое разность потенциалов между шариками достигнет значения $U_{\min}$ , если $U = U_0 = 1{,}0\cdot 10^6\ \text{В}$ .

Отговори

Решение

Период колебаний каждого из шариков $T = 2\pi\sqrt{l/g} = 2{,}0\ \text{с}$ .
Шарики считаем точечными зарядами. При отклонении проволок от вертикали на небольшой угол $\alpha$ ( $\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha \approx \alpha$ ) в сторону сближения сила кулоновского притяжения $F_q = kq^2/(d - 2\alpha l)^2$ уравновешивается равнодействующей сил тяжести и натяжения проволок $F_{\text{р}} = mg\alpha$ :

k\frac{q^2}{(d - 2\alpha l)^2} = mg\alpha \quad \to \quad k\frac{q^2}{mg} = \alpha(d - 2\alpha l)^2 = f(\alpha).

Функция $f(\alpha) = \alpha(d - 2\alpha l)^2$ имеет максимум при $\alpha_0 = d/(6l)$ . Этому значению соответствует максимальное значение заряда шариков:

kq_{\max}^2 = mg\alpha_0(d - 2\alpha_0l)^2 = \frac{2mgd^3}{27l} \quad \to \quad q_{\max} = \sqrt{\frac{2mgd^3}{27kl}}.

Для отклонения шариков на больший, чем $\alpha_0$ угол, вплоть до столкновения, требуется меньший заряд, а значит, при сколь угодно незначительном превышении $q_{\max}$ шарики под действием кулоновского взаимодействия достаточно быстро притянутся и, взаимно разрядившись, вновь разойдутся, пока вновь не приобретут необходимый для столкновения критический заряд $q_{\max}$ . Разность потенциалов между шариками при $q_{\max}$ равна минимальному значению напряжения источника, при котором шарики столкнутся:

U_{\min} = \varphi_+ - \varphi_- = k\frac{q_{\max}}{r} - \left(-k\frac{q_{\max}}{r}\right) = 2\sqrt{\frac{2kmgd^3}{27lr^2}} = 64{,}6\ \text{кВ}.

Поскольку $U_{\min} \ll U_0 = 1\ \text{МВ}$ , ток заряда можно считать постоянным $I = U_0/R$ , и время заряда до значения $q_{\max}$ можно рассчитать по формуле:

\tau = \frac{q_{\max}}{I} = \frac{U_{\min}r}{2k}\frac{R}{U_0} = 18\ \text{с}.

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf