ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.5. В архиве Снеллиуса (Слободянин В.)

• Четыре решения: собирающие линзы в точках $x = \pm\sqrt{Ld}$ и $L - x = -\sqrt{L(L-d)}$ (на промежутке $S_0F$), рассеивающая линза в точке $L - x = \sqrt{L(L-d)}$ ($x$ — расстояние от источника до линзы, $d$ — до фокуса, $L$ — до изображения).

Для начала проведём качественный анализ того, где может располагаться линза и какой она может быть.

Рассеивающая линза. Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и лежит по ту же сторону от линзы, что и источник, причем расстояние от линзы до изображения меньше расстояния от линзы до источника. Таким образом, условию удовлетворяет рассеивающая линза, которая находится правее $S_1$ (рис. 26).

Собирающая линза. Изображение может быть как мнимым, так и действительным. Мнимое (причём увеличенное) изображение расположено от линзы всегда дальше, чем источник, поэтому линза, дающая мнимое изображение, расположена слева от $S_0$ (рис. 27).

Если линза расположена между источником $S_0$ и изображением $S_1$, то изображение — действительное. Так как линза имеет два фокуса, то точка $F$ может лежать как справа (рис. 28), так и слева от линзы (рис. 29).

Таким образом, существуют четыре решения!

Теперь найдём точные координаты оптических центров этих линз и выполним построения. Пусть расстояние от источника света до фокуса равно $d$, до изображения — $L$, а до линзы — $x$. Запишем формулу тонкой линзы:

где знак плюс в левой части соответствует действительному изображению, а минус — мнимому. Знак плюс перед оптической силой линзы соответствует собирающей линзе, а знак минус — рассеивающей.

Данные в задаче точки $S_0$, $F$ и $S_1$ делят оптическую ось на четыре промежутка, в каждом из которых модули в уравнении (22) будут раскрываться с различными знаками.

Найдём все решения уравнения (22). Раскроем знаки на промежутке $S_0F$. Как мы заметили выше, здесь может располагаться только собирающая линза, тогда:

причем решение со знаком минус попадает в рассматриваемый нами промежуток.

Решая по аналогии уравнение (22) на оставшихся трёх промежутках, найдём, что ещё две собирающие линзы находятся в точках $x = \pm\sqrt{Ld}$, а в точке $L - x = \sqrt{L(L - d)}$ находится рассеивающая линза.

Все построения в данной задаче сводятся к построению корней из произведений длин отрезков. В курсе геометрии доказывается, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Таким образом, найдём $\sqrt{S_0S_1\cdot FS_1}$ и $\sqrt{S_0S_1\cdot S_0F}$ и отложим полученные отрезки от точки $S_0$ вправо и от точки $S_1$ в обе стороны, соответственно.

Пошаговая инструкция к построению (рис. 30):

1. Отложим на оптической оси отрезок длины $S_0S_1 = L$ вправо от точки $S_1$. Обозначим точку $M_1$.
2. Найдём среднее геометрическое длин отрезков $FS_1 = L - d$ и $L$. Для этого построим окружность на диаметре $FM_1$. Найдём точку пересечения перпендикуляра к оптической оси, проходящего через $S_1$, и окружности — $P_1$. Длина отрезка $S_1P_1$ равна $\sqrt{L(L - d)}$.
3. Отложим отрезки длины $S_1P_1$ влево ($O_1$) и вправо ($O_2$) от $S_1$ на оптической оси. Левая линза окажется собирающей, а правая — рассеивающей.
4. Отложим на оптической оси отрезок длины $S_0S_1 = L$ влево от точки $S_0$. Обозначим точку $M_0$.
5. По аналогии с пунктом 2 построим окружность на диаметре $M_0F$ и перпендикуляр $S_0P_0$, длина которого равна $\sqrt{Ld}$.
6. Отложим отрезки длиной $S_0P_0$ вправо ($O_3$) и влево ($O_4$) от точки $S_0$ на оптической оси. Эти линзы являются собирающими.