Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.2. На балконе (Замятнин М.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга массой $m$ с балкона 17 этажа вертикально вверх со скоростью $v_0$ . При полёте на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью $v_2$ . Найдите скорость шарика $v_{\max}$ , при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения.

Отговори

Решение

Скорость изменения кинетической энергии тела — это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. По условию сила сопротивления пропорциональна скорости:

\vec{F}_{\text{с}} = -\alpha\vec{v}.

Суммарная мощность сил, приложенных к шарику:

N = (m\vec{g} + \vec{F}_{\text{с}})\cdot\vec{v} = mgv - \alpha v^2, \qquad (3)

где $v$ — проекция скорости шарика $\vec{v}$ на ось, направленную вертикально вниз.

При падении шарик будет ускоряться, пока сила сопротивления не уравновесит силу тяжести. Зная скорость установившегося движения $v_2$ , найдём коэффициент $\alpha$ , записав для шарика второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз, и приравняв ускорение нулю:

0 = mg - \alpha v_2, \quad \text{откуда} \quad \alpha = \frac{mg}{v_2}.

В процессе движения скорость $v$ изменяется от $-v_0$ до $v_2$ .

Выражение для мощности (3) можно привести к виду:

N = \frac{mgv_2}{4} - \frac{mg}{v_2}\left(v - \frac{v_2}{2}\right)^2.

График этой зависимости — парабола с вершиной в точке $v_1 = v_2/2$ , показанная на рисунке 13.

График N(v): парабола, проходящая через начало координат, с максимумом N_1 при v = v_1 и нулём при v = v_2; левая ветвь опускается до значения N_2 при v = −v_0; пунктиры к осям. — Рис. 13

Как видно из графика, максимальная (по модулю) скорость изменения кинетической энергии достигается либо при $v = v_1$ , либо при $v = -v_0$ . В первом случае мощность $N_1 = \frac{mgv_2}{4}$ , во втором $N_2 = \frac{mgv_2}{4} - \frac{mg}{v_2}\left(v_0 + \frac{v_2}{2}\right)^2$ .

Сравнив $N_1$ и $N_2$ , найдём, что при $v_0 < v_{\text{к}} = \frac{(\sqrt{2}-1)}{2}v_2$ мощность $N_1 > N_2$ и, следовательно, $v_{\max} = v_1$ ; при $v_0 > v_{\text{к}}$ , наоборот, $N_2 > N_1$ и $v_{\max} = v_0$ . При $v_0 = v_{\text{к}}$ верны оба ответа.

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf