Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.3. Охлаждение гелия (Шеронов А.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

При охлаждении одного моля гелия от начальной температуры $T_0$ до некоторой конечной температуры $T_x$ в процессе с теплоемкостью $C$ , прямо пропорциональной температуре $T$ , газ совершил работу, равную нулю. В самом начале процесса охлаждения давление газа изменялось прямо пропорционально его объёму. Найдите величину положительной работы газа в данном процессе и отношение $T_x/T_0$ .

Отговори

Решение

Согласно первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$ . Работу газа на начальном этапе охлаждения найдём, вычислив площадь под графиком (рис. 20):

A = -\frac{1}{2}(P_0V_0 - P_1V_1) = -\frac{1}{2}(RT_0 - RT_1) = \frac{R}{2}\Delta T.

График P(V): отрезок прямой из начала координат от точки (V_1, P_1) до точки (V_0, P_0); площадь под отрезком между V_1 и V_0 закрашена серым; пунктиры к осям. — Рис. 20

В начале процесса охлаждения теплоёмкость равнялась:

C = \frac{\delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U + \delta A}{\Delta T} = C_V + \frac{R}{2} = 2R.

Следовательно, теплоемкость рассматриваемого процесса

C = 2R\frac{T}{T_0}. \qquad (18)

Работа газа будет отрицательной до тех пор, пока газ не примет минимальный объём (точка $C$ на рисунке 21). В этой точке $\Delta V = 0$ , а значит теплоёмкость

C = C_V + P\frac{\Delta V}{\Delta T} = C_V = \frac{3}{2}R. \qquad (19)

Приравняв (19) к (18), найдём температуру $T_c$ , при которой объём газа достигает своего минимума:

T_c = \frac{3}{4}T_0.

Так как суммарная работа газа равна нулю, то положительная работа $A_+$ (площадь под участком $CX$ графика) равна по модулю отрицательной работе $A_-$ (площади под участком $OC$ графика). Найдём искомую работу газа, воспользовавшись первым законом термодинамики: $Q_{OC} = \Delta U + A_{OC}$ , где $Q_{OC}$ — тепло, полученное газом на участке $OC$ . Его значение найдём как площадь под графиком $C(T)$ . Поскольку график линейный, то

Q_{OC} = -\frac{2R}{T_0}\frac{T_0^2 - T_c^2}{2} = -\frac{7}{16}RT_0.

Изменение внутренней энергии на этом участке:

\Delta U = U_c - U_0 = C_V(T_c - T_0) = -\frac{3}{8}RT_0,

откуда $A_{OC} = Q_{OC} - \Delta U = -\frac{RT_0}{16}$ . Искомая работа $A_{CX} = -A_{OC} = \frac{RT_0}{16}$ .

График P(V) процесса: из точки O (касательная P ∝ V, пунктир) кривая идёт влево до точки минимального объёма C, затем вправо вниз до точки X; площадь под участком OC заштрихована и обозначена A_−, под участком CX — A_+; у начала координат пунктир P ∝ V; ось V с разрывом. — Рис. 21

Найдём температуру $T_x$ , при достижении которой работа становится равной нулю:

A = Q - \Delta U = \frac{2R}{T_0}\frac{T_x^2 - T_0^2}{2} - C_V(T_x - T_0) = \frac{R}{T_0}(T_x - T_0)\left(T_x + T_0 - \frac{3}{2}T_0\right),

откуда $T_x/T_0 = 1/2$ .

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf