ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.2. Катушка с проводом (Кармазин С.)

• $m = \frac{2F_1F_2^2}{g(F_1^2 - F_2^2)}$

Решение 1.

Пусть $R$ — внешний радиус катушки, $r$ — внутренний радиус, $\mu$ — коэффициент трения между стержнем и катушкой, $\vec{Q}$ — полная реакция опоры, которую можно представить как сумму силы нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения скольжения $\vec{F_{\text{тр}}}$ ($\vec{Q} = \vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N}$).

На рисунках 18 и 19 показаны силы, действующие на катушку в процессе ее равномерного разматывания под действием силы $F$.

Заметим, что между внутренней поверхностью катушки и стержнем будет действовать сила трения, причём отношение модулей сил $F_{\text{тр}}$ и $Q$ зависит только от коэффициента трения, но не от силы $F$. Отсюда

Из равенства моментов сил относительно центра катушки

получаем

Заметим также, что

и,

Решив полученную систему уравнений, найдём

откуда получаем искомую массу:

Решение 2 («в лоб»). Пусть $\alpha$ — угол между направлением силы $N_1$ и горизонталью. Условие равенства нулю равнодействующей всех сил в проекции на горизонтальную ось имеет вид:

а в проекции на вертикальную ось

Условие равенства моментов сил относительно центра катушки имеет вид:

Возведем (11) и (12) в квадрат и сложим их:

Рассмотрим случай, когда нить тянут горизонтально (рис. 19) . Обозначим символом $\beta$ угол между силой реакцией опоры $N_2$ и горизонталью. Уравнения, аналогичные (11) — (14), для второго случая принимают вид

Аналогично решая полученную систему уравнений (15) и (16), найдем:

Делим уравнение (14) на (17) и получаем:

откуда следует ответ:

Примечание: формально одним из решений является $P = 0$, однако тогда равнодействующая силы реакции и силы трения должна быть противоположна силе $F_1$ и направлена по той же прямой. Это возможно только в случае, если $R = r$.