Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1. Катапульта (Замятнин М.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Игрушечная катапульта может стрелять сразу двумя шариками, выпуская их с одинаковыми по модулю начальными скоростями $v_0$ , но направленными под разными углами к горизонту. Угол, под которым запускается один из шариков, можно менять как угодно. Конструкция катапульты такова, что после выстрела с горизонтальной плоскости оба шарика попадают в одну и ту же точку этой плоскости. После большого числа испытаний выяснилось, что максимальное из возможных расстояний между шариками в то время, пока они оба находились в воздухе, достигало $L_{\max} = 19\ \text{м}$ . Определите начальную скорость $v_0$ шариков. Примите $g = 10\ \text{м/с}^2$ .

Отговори

Решение

Дальность полёта шарика, выпущенного из катапульты под углом $\varphi$ , равна

L = \frac{v_0^2}{g}2\sin\varphi\cos\varphi = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\varphi. \qquad (6)

Так как шарики, имеющие одинаковую начальную скорость, попадают в одну и ту же точку, углы $\varphi_1$ и $\varphi_2$ относительно горизонта, под которыми их выпускают, удовлетворяют условию $2\varphi_1 = 180^{\circ} - 2\varphi_2$ , что эквивалентно выражению:

\varphi_1 + \varphi_2 = 90^{\circ} \qquad (7)

Два вектора начальных скоростей v_0 из одной точки на горизонтали, симметричные относительно луча под 45° (углы α по обе стороны от него); разность векторов обозначена Δv; вертикальная пунктирная линия. — Рис. 17

Векторы их начальных скоростей направлены симметрично относительно луча, образующего угол $45^{\circ}$ с горизонтом (рис. 17). Время, в течение которого оба шарика находятся в полете, определяется временем полета нижнего шарика (верхний шарик летит дольше):

t_{\text{п}} = \frac{2v_0\sin(45^{\circ} - \alpha)}{g}. \qquad (8)

Перейдём в систему отсчета, начало координат которой совпадает с нижним шариком, а ориентация осей в пространстве неизменна в течение всего полёта. В этой системе отсчёта верхний шарик движется равномерно и прямолинейно со скоростью

\Delta v = 2v_0\sin\alpha. \qquad (9)

За время $t_{\text{п}}$ он успеет удалиться на расстояние

L = \Delta v t_{\text{п}} = \frac{4v_0^2}{g}\sin\alpha\sin(45^{\circ} - \alpha) = \frac{2v_0^2}{g}(\cos(2\alpha - 45^{\circ}) - \cos 45^{\circ}). \qquad (10)

Максимум этого выражения достигается при $\cos(2\alpha - 45^{\circ}) = 1$ , то есть, когда $\alpha = 22{,}5^{\circ}$ . Значит,

L_{\max} = \frac{2v_0^2}{g}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right),

откуда начальная скорость равна

v_0 = \sqrt{\frac{L_{\max}\,g}{2 - \sqrt{2}}} = 18\ \text{м/с}.

Справочные данные (11 класс)

При решении задач Вам могут понадобиться следующие данные:

Ускорение свободного падения	$g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$
Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}$
Молярная масса олова	$\mu = 119\ \text{г/моль}$
Плотность олова	$\rho = 7{,}31\ \text{г/см}^3$
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$

Оригинал в Архива: finalT14.pdf