ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 5. Коробка с полосками

• $\mu_2 - \mu_1 = 2L(x_2 - x_1)/H(x_2 + x_1)$

  Формула (9) официального решения; для данных авторов ожидаемое значение от 0,45 до 0,51.

Возможное решение

1.а) Для определения угла наклона плоскости ставим брусок на миллиметровую бумагу и измеряем по ней расстояние x от бруска до вершины угла $\alpha$, образуемого пластиной с горизонталью, тогда $\mathrm{tg}\alpha = h/x$, где $h$ = const высота бруска. Поэтому при фиксированной высоте наклон однозначно задаётся значением $x$.

б) Если выполнить предложенные действия, то обнаружится, что при наждачной полоске у нижнего угла бруска угол наклона плоскости, приводящий к проскальзыванию, заметно больше, чем в случае, когда она сверху.

2. а) Рассмотрим случай начала проскальзывания бруска. Обозначим коэффициенты трения у верхней и нижней полоски $\mu_1$ и $\mu_2$, продольный и поперечный размеры бруска $H$ и $L$, массу бруска $m$ и ускорение свободного падения g. (Считаем, что $\mu_2$ относится к наждачной бумаге, а $\mu_1$ к гладкой поверхности изоляционной ленты.)

Введём силы нормального давления $N_1$ и $N_2$ в точках 1 и 2 (верхняя и нижняя полоски). В граничном случае силы трения равны $\mu_1N_1$ и $\mu_2N_2$. Тогда из равновесия сил по нормали к пластине:

из равновесия вдоль пластины:

из равенства моментов сил относительно центра масс (или средней точки нижней грани):

Отсюда можно найти

После подстановки этих выражений в уравнение (2) получим соотношение, связывающее коэффициенты трения с критическим углом:

При полоске с $\mu_1$ ниже, обозначив критический угол $\beta$, получим:

Отсюда находим, что $(\mu_1 + \mu_2) = \mathrm{tg}\alpha + \mathrm{tg}\beta$ (7).

А для искомой разности коэффициентов трения имеем:

б) $H$ и $L$ измеряются с помощью миллиметровой бумаги. Тангенсы углов наклона выражаются через $h$ и $x$ (1.а), которые можно измерить с помощью миллиметровой бумаге. Если в рассмотренных выше двух случаях обозначить расстояния от бруска до вершины угла $x_1$ и $x_2$, то $\mathrm{tg}\alpha = h/x_1$, а $\mathrm{tg}\beta = h/x_2$. Для разницы коэффициентов трения получим выражение:

в которое $h$ не входит! То есть для нахождения разности коэффициентов трения достаточно определить лишь $x_1$, $x_2$.

$\langle$Анализ измеримости, выбор измеряемых величин 1 балл$\rangle$

3. а) Измерения $L$ и $H$ достаточно просты и проводятся с ошибкой не больше 0,5 мм. Для $H$ относительная погрешность не больше 2%. Достаточно однократного аккуратного измерения.

б) Измерения расстояния $x$ менее надёжны, ибо, во-первых, трудно уловить момент начала проскальзывания, и во-вторых, брусок может зацепиться за локальный дефект поверхности бумаги, покрывающей наклонную плоскость. Поэтому сначала грубо определяем $x$ с избытком и недостатком, постепенно сужая границы. Влияние локальных дефектов можно устранить, помещая брусок на разные места плоскости, или, слегка постукивая по ней, проверить, будет брусок безостановочно соскальзывать или затормозится. При таких предосторожностях можно сузить границы до диапазона 1-2 мм, что при $x_2 - x_1$ около 20-30 мм даёт относительную погрешность меньше 10%. При троекратном попадании в этот диапазон можно считать, что воспроизводимость измерений достаточна.

$\langle$Указание причин погрешности, способ сужения границ, постукивание, проверка воспроизводимости (троекратное попадание в диапазон 1-2 мм) оценка относительной погрешности в $\mu_2 - \mu_1$.$\rangle$

3. в)

ТАБЛИЦА ИЗМЕРЕНИЙ

Основной вклад в погрешность определения $\mu_1 - \mu_2$ вносит погрешность $(x_1 - x_2)$, это примерно 10%.

$\langle$Таблица измерений или другое чёткое и полное представление измерений. Вычисление искомой разности коэффициентов трения. Попадание в 10% ворота, в случае приведённых данных от 0,45 до 0,51.$\rangle$

Организаторам целесообразно провести независимые измерения коэффициентов трения $\mu_2$ и $\mu_1$.

Эти измерения коэффициентов трения наждачной бумаги и изоляционной ленты по отдельности у нас согласовывались лучше, чем 10%.

Примерные критерии оценивания