ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 6. Исследование зависимости температуры воды Тв от времени
Условие
Задание 11.1. Исследование зависимости температуры воды от времени
В задачах на теплообмен обычно предполагается, что количество теплоты, отдаваемое горячим телом в единицу времени прямо пропорционально разности температур между горячим и холодным телом. Следовательно, можно записать следующее выражение: С ΔT = α(Тв – Тк) Δt
где С – теплоемкость воды, ΔT – изменение температуры воды за малое время Δt, Тв – температура воды, Тк – температура окружающей среды, α – коэффициент пропорциональности.
Путем графической обработки полученных экспериментальных данных определите величину коэффициента α для 5-6 различных значений температуры воды в стакане, постройте график зависимости α от разности температур (Тв-Тк) и сделайте вывод о справедливости предположения, сформулированного выше.
Масса налитой воды Мв =150 г, удельная теплоемкость воды Св = 4200 Дж/(кг*град).
Для наливания определенного количества горячей воды в стакан определите сначала требуемый уровень с помощью мерного стакана и холодной воды, сделайте метку в стакане и попросите организатора налить горячей воды до необходимого уровня. Теплоемкостью алюминиевого стакана в условиях эксперимента можно пренебречь. Температура в помещении определяется электронным термометром и выводится на его дисплей в непрерывном режиме.
Оборудование: алюминиевый стакан с горячей водой, крышка к стакану, мерный стакан, термометр, секундомер, комнатный термометр (общий на аудиторию).
Внимание!!! При работе с горячей водой соблюдать предельную осторожность и проявить максимальное внимание с целью избежать опрокидывания стакана с водой и стараться не разбить термометр!!!
Решение
Решение и комментарии:
Пусть количество теплоты, отдаваемое водой и стаканом за время Δt равно Q и при температуре в стакане Тв его содержимое и сам стакан остыли за это время на ΔТ градусов. Тогда, согласно условию задачи
(СвМв + СсМс) ΔТ = α (Тв – Тк) Δt (1)
Обозначим Со = (СвМв + СсМс). При подстановке численных значений из условия задачи получаем Cо = 443 Дж/ град.
Из (1) α = (Со/(Тв-Тк)) (ΔТ/ Δt) (2)
В выражении (2) (ΔТ/ Δt) - это производная функции Тв(t). Для ее нахождения по экспериментальным данным необходимо построить график представленной в условии зависимости и определить тангенс угла наклона касательной к этому графику в точке, соответствующей определенному значению Тв. Проделав эту операцию несколько раз (при различных Тв), можно с помощью формулы (1) вычислить α для различных значений Тв, что и требуется в задаче. На рис 1 проиллюстрирована эта процедура, а в таблице 2 представлены результаты вычисления α для 8 значений Тв.
Табл.2
| № | Тв, град.С | α, Дж/(град. сек) |
|---|---|---|
| 1 | 77 | 0,29 |
| 2 | 65 | 0,27 |
| 3 | 60 | 0,26 |
| 4 | 55 | 0,24 |
| 5 | 50 | 0,22 |
| 6 | 45 | 0,22 |
| 7 | 40 | 0,24 |
| 8 | 36 | 0,25 |
На рис.2 показана полученная зависимость α(Тв). Если считать, что среднее значение Α = 0,25 Дж/(град. сек), то максимальное отклонение α от этого значения (при Тв=77 град С) составляет 16%. Таким образом, с одной стороны, можно утверждать, что α вплоть до 80 град остается величиной постоянной с точностью до 16-20 %. С другой стороны, в предложенном методе ручной обработки результатов весьма существенную роль играет субъективный фактор (как построить график, как провести касательную зависит от аккуратности исполнителя). Это обстоятельство делает эту задачу особо привлекательной с олимпиадной точки зрения, так как позволяет оценить целый комплекс знаний и умений участников олимпиады.
Для сравнения, на рис .3 представлена зависимость α(Тв) ( в условных единицах как по вертикальной, так и по горизонтальной осям), полученная в результате автоматизированной обработки данных, приведенных в условии задачи. На этом рисунке видно, что в данном случае наблюдается существенный рост α в области высоких температур.
Примерные критерии оценивания
1.Таблица измерений T(t) – не менее 15 значений 3 балла
не менее 10 значений 2 балла
менее 10 точек или если измерялось время в зависимости от температуры t(T) 1 балл
- Грамотно оформленный график T(t) – если он использовался для расчета α (при наличии на нем нескольких касательных) 3 балла
если не использовался для расчета α 1 балл
Формула для расчета α (или просто расчет по формуле если видны все числа, как они использовались при расчете) 2 балла
Значения α (не менее 5) при разных Тв:
- если получены путем обработки графика (касательные), правильная величина и размерность 4 балла
если численным дифференцированием (разность соседних измеренных значений температуры) правильная величина и размерность 2 балла
в любом случае, если не правильная величина или размерность (или размерность отсутствует) 1 балл
- График α (Тв) с учетом погрешности 2 балла
без учета погрешности 1 балл
- Обоснованный вывод 1 балл
Оригинал в Архива: region15E.pdf