Съдържание

Условие Часть 1.Часть 2.Отговори Решение

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1. Затухающие колебания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур. Методическое пособие

Условие

В этой задаче исследуются колебания теннисного шарика на нитке.

Часть 1.

В данной части работы следует проводить измерения при постоянном начальном отклонении шарика $40^{\circ}$ .

1.1. Нить рекомендуется взять такой длины, чтобы расстояние от точки подвеса до центра шарика было 60–70 см. Снимите зависимость времени $\tau$ , за которое амплитуда колебаний уменьшается вдвое, от массы $m$ шарика (не менее 7 точек).

1.2. Известно, что $\tau(m) = km^{\alpha}$ , где $k$ , $\alpha$ — постоянные коэффициенты. Найдите $k$ , $\alpha$ .

Часть 2.

В данной части работы следует проводить измерения при максимальной массе шарика. Амплитуда колебаний $A$ — длина дуги окружности между равновесным положением шарика и максимальным отклонением шарика от положения равновесия.

2.1. Снимите зависимость амплитуды колебаний от времени $t$ при угловом значении амплитуд в диапазоне от $60^{\circ}$ до $20^{\circ}$ (не менее 7 точек).

Рассмотрим результаты двух теорий, описывающие зависимость $A(t)$ :

2.2.1. Ламинарное обтекание шарика воздухом. $A(t) = A_0 e^{-\delta t}$ , где $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, $\delta = 3\pi r\eta/m$ , $r$ — радиус шарика, $m$ — масса шарика, $\eta$ — вязкость воздуха. Известно, что $\eta \in [0{,}5; 5]\cdot 10^{-5}$ Па $\cdot$ с. Проверьте применимость теории к вашим результатам.

2.2.2. Турбулентное обтекание шарика воздухом. $A(t) = A_0/(1 + \beta A_0 t)$ , где $\beta = \pi\rho d^2 C_d/(3mT)$ , $\rho = 1{,}17$ кг/м $^3$ — плотность воздуха, $d$ — диаметр шарика, $T$ — период колебаний, $C_d$ — некоторый коэффициент. Из теоретических соображений известно, что $C_d \in [0{,}4; 4]$ . Проверьте применимость теории к вашим результатам.

Сделайте оценки погрешности ваших результатов.

Указание. Период малых колебаний шарика на длинной нити примерно равен $2\pi\sqrt{l/g}$ , где $l$ — расстояние от точки подвеса до центра масс груза, $g = 9{,}8$ м/с $^2$ — ускорение свободного падения на Земле. Во всех частях работы зависимостью периода колебаний от их амплитуды и массы шарика можно пренебречь.

Оборудование. Штатив, измерительная лента, нитка, бумажный транспортир, теннисный шарик известной массы 2,4 г, шприц, стакан с водой, миллиметровая бумага (для построения графиков).

Отговори

Решение

Часть 1.

Время в данной задаче нужно измерять по числу колебаний маятника. Можно заметить, что использование бифилярного подвеса значительно улучшает качество измерений, так как фиксирует плоскость колебаний маятника.

1.1. Добавляя в шарик определенные порции воды с помощью шприца, снимем зависимость $\tau(m)$ . Данные приведены в таблице 1 для длины нити $l \approx 67$ см. Погрешность измерения массы определяется ценой деления шприца и накапливается с увеличением массы. Погрешность же измерения времени постоянна и равна половине периода.

Таблица 1.

$\tau/T$	2	6	9	13	16	19	22	25	28	32	35
$m$ , г	2,4	5,4	8,4	11,4	14,4	17,4	20,4	23,4	26,4	29,4	32,4

1.2. Построив график полученной зависимости (рис. 4), убеждаемся что он линеен, и $\alpha = 1$ . Из коэффициента наклона полученной прямой находим, что $k = (1{,}77 \pm 0{,}03)$ с/г .

График m, г (ось ординат, 0–35) от t/T (ось абсцисс, 0–35): экспериментальные точки с крестами погрешностей лежат на прямой, проходящей через начало координат. — Рис. 4

Часть 2.

2.1. Снимем зависимость угловой амплитуды $\varphi$ от времени.

Таблица 2.

$t/T$	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44
$\varphi$ , $^{\circ}$	60	51	43	38	34	32	29	27	25	24	22,5	21

2.2.1. Линеаризуем заданную в этом пункте зависимость. $\ln(A_0/A) = \delta t$ . Построим график зависимости $\ln(A_0/A)$ от $(t/T)$ (рис. 5).

Таблица 3.

$t/T$	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$\ln(A_0/A)$	0,00	0,16	0,33	0,46	0,57	0,63	0,73	0,80	0,88	0,92

График ln(A0/A) (0,0–1,0) от t/T (5–35): точки с погрешностями и штриховая прямая, точки отклоняются от прямой. — Рис. 5

График A0/A (0,0–2,5) от t/T (5–35): точки с погрешностями лежат на сплошной прямой, начинающейся около 1,0. — Рис. 6

Как мы видим, полученная зависимость не является линейной. Но, даже если мы примем ее за линейную, оценив из графика значение $\eta \approx 2\cdot 10^{-3}$ Па $\cdot$ с, мы обнаружим расхождение на два порядка с величиной, предложенной в условии. Следовательно, данная теория неприменима.

2.2.2. Линеаризуем заданную в данном пункте зависимость. $A_0/A = 1 + \beta A_0 t$ . Построим график зависимости $A_0/A$ от $t/T$ (рис. 6).

Таблица 4.

$t/T$	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$A_0/A$	1,00	1,18	1,40	1,58	1,76	1,88	2,07	2,22	2,40	2,50

Как мы видим, полученная зависимость линейна в пределах погрешности. Однако, для подтверждения теории необходимо проверить, что значение $C_d$ лежит в заданном промежутке. Это значение мы можем вычислить из коэффициента наклона полученной прямой. $C_d = (0{,}88 \pm 0{,}02)$ , что окончательно подтверждает применимость второй теории.

Оригинал в Архива: finalE15.pdf