Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. «Миллиавтомобиль»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Очень маленький, размером с муравья, автомобиль, едет по ровной горизонтальной поверхности вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$ . На его крыше закреплён точечный источник света $S$ , находящийся на главной оптической оси линзы. Скорость автомобиля изменяется так, что скорость изображения $S_1$ точечного источника $S$ остаётся постоянной и равной $v_0$ . Определите на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». Коэффициент трения между колёсами автомобиля и дорогой равен $\mu$ .

Отговори

Решение

Главная оптическая ось с линзой (вертикальная двусторонняя стрелка) и фокусами f по обе стороны; справа автомобиль с источником S и скоростью v на расстоянии x от фокуса; слева изображение S1 (штриховой прямоугольник) со скоростью v0 на расстоянии y от фокуса. — Рис. 26

Если расстояние от источника $S$ до переднего фокуса линзы равно $x$ , а от его изображения до заднего фокуса $y$ , то по формуле тонкой линзы в форме Ньютона ( $xy = f^2$ ) для малых перемещений $\Delta x$ и $\Delta y$ получим:

x\Delta y + y\Delta x = 0 \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{v}{v_0} = -\frac{x}{y} = -\frac{xy}{y^2} = -\frac{f^2}{y^2}.

отсюда скорость автомобиля: $v = -v_0f^2/y^2$ . Знак «−» означает, что если автомобиль удаляется от фокуса ( $x$ растет, то есть $v > 0$ ), его изображение приближается к фокусу ( $y$ уменьшается, $v_0 < 0$ ). Ускорение автомобиля:

a = \frac{dv}{dt} = 2\frac{v_0f^2}{y^3}\frac{dy}{dt} = 2\frac{v_0^2f^2}{y^3} = 2\frac{v_0^2x^3}{f^4}.

Это ускорение не может превышать (по модулю) значения $a_{max} = \mu g$ . Следовательно, получаем неравенство:

\frac{2v_0^2|x|^3}{f^4} \leqslant \mu g, \qquad \text{откуда} \qquad |x| \leqslant f\sqrt[3]{\frac{\mu gf}{2v_0^2}},

т.е. автомобиль не может удалиться от фокуса на расстояние большее, чем $f\sqrt[3]{\frac{\mu gf}{2v_0^2}}$ . Следовательно, расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах:

f\left(1 - \sqrt[3]{\frac{\mu gf}{2v_0^2}}\right) \leqslant l < f \qquad \text{или} \qquad f < l \leqslant f\left(1 + \sqrt[3]{\frac{\mu gf}{2v_0^2}}\right).

Изображение может быть как мнимым ( $l < f$ ), так и действительным ( $l > f$ ).

Если $v_0 < \sqrt{\frac{\mu gf}{2}}$ , то

0 < l < f \qquad \text{или} \qquad f < l \leqslant f\left(1 + \sqrt[3]{\frac{\mu gf}{2v_0^2}}\right).

Оригинал в Архива: finalT15.pdf