ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. Космический объект

• $r = \frac{c\Delta T\Delta t}{T(\Delta\varphi)^2}$

При угле $\varphi$ между направлением движения объекта и направлением к наблюдателю посланные через время $T_0$ импульсы будут приниматься наблюдателем через промежуток времени $T = T_0(1 + (v/c)\cos\varphi)$, где $v$ - скорость объекта.

В самом деле, если из точки A испущен первый импульс, то следующий импульс испускается через время $T_0$ из точки B на расстоянии $vT_0$. Пути к наблюдателю почти параллельны, а разница их составляет отрезок $BC = AB\cos\varphi = vT_0\cos\varphi$ (рис. 24), проходимый за дополнительное время $(vT_0\cos\varphi)/c$, где $c$ - скорость света. В сумме с $T_0$ это и дает выражение для $T$. Пока угол $\varphi$ можно считать почти постоянным, такое же соотношение будет верным для любых промежутков времени $\Delta t_0$ при испускании сигналов и $\Delta t$ при их приеме:

Теперь вычислим приращение периода при приеме при изменении угла $\varphi$ на $\Delta\varphi$ (если из направление точки N (наблюдатель) к космическому объекту повернулось на угол $\Delta\varphi$, то начальный угол переходит в угол $\varphi - \Delta\varphi$ (рис. 25)):

($v\sin\varphi$ это составляющая скорости, перпендикулярная к радиусу вектору).

Тогда при времени перемещения $\Delta t_0$, отвечающему времени наблюдения $\Delta t$ имеем $\Delta\varphi = v\Delta t_0\sin\varphi/r$, где $r$ - искомое расстояние. Исключая скорость из выражения для $\Delta T$, получим:

поскольку $T_0/T = \Delta t_0/\Delta t$. Окончательно получаем:

Поскольку рассмотрение проводилось только в системе отсчёта наблюдателя, то результаты применимы в общем случае, а не только при скоростях объекта $v \ll c$.