Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. Реактивная трубка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В середине длинной трубки, открытой с обоих концов, перпендикулярно к её оси закреплён нагреватель в виде тонкой вольфрамовой сеточки. Система находится в воздухе при температуре $t = 20^{\circ}\text{С}$ , её общая масса $M = 17$ г. В начальный момент трубке сообщается скорость $v_0 = 1$ см/с вдоль её оси, к нагревателю начинает подводиться мощность $q = 20$ Вт, и трубка начинает разгоняться. Какой скорости достигнет трубка на пути разгона $S = 20$ м? Сопротивлением воздуха пренебрегите. Давление внутри трубки считайте одинаковым, силу тяжести и теплообмен через стенку трубки не учитывайте. Считайте, что изменение кинетической энергии потока воздуха при пересечении сеточки мало по сравнению с изменением его внутренней энергии. Считайте воздух двухатомным газом с молярной массой $\mu = 29$ г/моль.

Отговори

Решение

Такая трубка с нагревателем представляет собой реактивный двигатель, принцип работы которого аналогичен принципу работы водомётного катера. Действительно, из-за нагрева и, соответственно, расширения, скорость горячего воздуха на выходе из трубки оказывается больше скорости холодного воздуха на входе в трубку. В результате возникает реактивная сила, разгоняющая трубку. Найдём выражение для этой реактивной силы тяги. В системе отсчета, связанной с трубкой, поток воздуха с небольшой скоростью продувается через трубу с нагревателем в виде сетки. (Кстати, это стандартная лабораторная установка для измерения теплоёмкости газов $C_p$ при постоянном давлении). Найдём изменение температуры воздуха. Пренебрегая изменением кинетической энергии потока воздуха, запишем закон сохранения энергии для массы $m$ газа, протекающего через трубку в единицу времени. Если этот воздух в холодном состоянии занимал объём $V_1$ , а в горячем $V_2$ , то по первому началу термодинамики подведённая к газу за единицу времени теплота $q$ расходуется на изменение внутренней энергии $\Delta U = U_2 - U_1$ и работу газа против внешнего давления $A = P(V_2 - V_1)$ : $q = \Delta U + A$ , или

\begin{aligned} q &= U_2 - U_1 + PV_2 - PV_1 = (U_2 + PV_2) - (U_1 + PV_1) =\\ &= \frac{m}{\mu}\Big((C_VT_2 + RT_2) - (C_VT_1 + RT_1)\Big) = \frac{m}{\mu}C_p\Delta T, \end{aligned}

где $C_V = 5R/2$ — молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме, $C_P = C_V + R = 7R/2$ молярная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении, $R = 8{,}31\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — универсальная газовая постоянная, $T_2$ и $T_1$ — температуры воздуха на выходе и на входе в трубку, соответственно. Если скорость холодного воздуха $v$ , а изменение скорости течения воздуха $\Delta v$ , то реактивная сила:

F_p = m\Delta v = \frac{mv\Delta v}{v} = \frac{mv\Delta T}{T} = \frac{v\mu q}{C_PT} = \beta v.

Сила тяги оказывается пропорциональной скорости движения трубки. Коэффициент пропорциональности:

\beta = \frac{\mu q}{C_PT} = 6{,}8 \cdot 10^{-5}\ \text{кг/с}.

По закону Ньютона:

Mdv = F_pdt = \beta vdt = \beta dS, \quad \text{следовательно,} \quad M\Delta v = \beta S.

Окончательно, $v = v_0 + \frac{\beta S}{M} = 9$ см/с.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf