Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. Проводящий кубик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Кубик составлен из шести одинаковых проводящих пластин с просверленными по центру одинаковыми отверстиями. В вершины кубика вставлены одинаковые маленькие хорошо проводящие шарики, к которым можно присоединять провода. Диаметры отверстий таковы, что электрическое сопротивление кубика между его соседними вершинами А и $B$ оказалось равным $R_{AB} = r = 32$ кОм. Если через эти вершины пропустить ток $I = 1$ мА в направлении, указанном на рисунке, то разность потенциалов между точкой M (серединой ребра AB) и вершиной С будет равна $U_{MC} = \varphi_M - \varphi_C = U = 2{,}0$ В. Определите сопротивление $R_{AC}$ между точками A и С. Как изменятся сопротивления $R_{AB}$ и $R_{AC}$ , если, не изменяя толщину пластин, увеличить их размеры и размер отверстий в 2 раза?

Куб из пластин с круглыми отверстиями в центре граней; на нижнем переднем ребре вершины A и B и середина M, вершина C на правой грани; ток I входит в A и выходит из B. — Рис. 10

Отговори

Решение

Примем потенциал вершины В за ноль. При пропускании через вершины А и В тока $I$ , из соображений симметрии, получим, что потенциал точки М равен

\varphi_M = \frac{1}{2}\varphi_A = \frac{1}{2}Ir,

а разность потенциалов

U_{AC} = \varphi_A - \varphi_C = (\varphi_A - \varphi_M) + (\varphi_M - \varphi_C) = \frac{1}{2}Ir + U.

Пустим через вершину В ток $I$ в обратном направлении, так, чтобы скомпенсировать выходящий из неё ток $I$ , и выведем этот ток через вершину С. Для этого придётся на вершину С подать потенциал, равный

\varphi_{\text{С}} = -\left(\frac{1}{2}Ir + U\right).

Напомним, что $\varphi_B = 0$ . Разность потенциалов между вершинами А и С окажется равной

U_{AC} = \varphi_A - \varphi_C = 2\left(\frac{1}{2}Ir + U\right) = 2U + Ir.

По принципу суперпозиции, ток $I$ будет входить в вершину А, а выходить и из вершины С (из вершины В ток не выходит и не входит). По закону Ома:

R_{AC} = \frac{U_{AC}}{I} = \frac{2U}{I} + r = 36\ \text{кОм}.

Пусть длина ребра куба равна $a$ , толщина пластины — $d$ . Заметим, что сопротивление куба $R \sim L/S \sim a/ad = 1/d$ – не зависит от длины $a$ стороны квадрата, где $L \sim a$ – характерный размер, а $S \sim ad$ – характерное поперечное сечение пластины при расчёте сопротивления кубика. Следовательно, при изменении длины стороны квадратной пластины и неизменной её толщине $d$ , сопротивление пластины не изменится.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf