Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Магнитные шары

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур. Методическое пособие

Условие

Поле однородно намагниченного шара радиусом $R$ на расстояниях $r \geq R$ от центра шара совпадает с полем точечного диполя $\vec{P}_m$ , равного полному магнитному моменту шара, расположенного в его центре и направленного от южного (S) к северному (N) магнитному полюсу. Например, магнитное поле Земли хорошо описывается полем точечного магнитного диполя, расположенного в ее центре.

Полный магнитный момент определятся намагниченностью $\vec{p}$ вещества, из которого изготовлен шар. По определению, намагниченность — это магнитный момент единицы объёма. Для однородно намагниченного шара намагниченность равна: $\vec{p} = \vec{P}_m/V$ , где $V$ — объём шара.

Если шар изготовлен из магнитожёсткого материала, то можно считать, что под действием внешних магнитных полей его намагниченность не изменяется и шар ведёт себя как жёсткий диполь.

Электрическим аналогом магнитного шара из магнитожёсткого материала является диэлектрический шар, изготовленный из электрета — материала с «замороженной» поляризацией. Шар, изготовленный из электрета, ведёт себя в электрическом поле точно так же, как и шар с постоянной намагниченностью в магнитном поле. Это означает, что формулы, описывающие взаимодействие постоянных шарообразных магнитов между собой и с магнитным полем, полностью — с точностью до обозначений — идентичны формулам, описывающим поведение электрических диполей в электрическом поле.

Напомним основные формулы, которые могут вам потребоваться в предлагаемой работе:

Индукция поля $\vec{B}$ точечного магнитного диполя $\vec{P}_m$ в точке с радиус-вектором $\vec{r}$ относительно диполя (система СИ): $^1$

\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\left(3\frac{(\vec{P}_m, \vec{r})}{r^5}\vec{r} - \frac{\vec{P}_m}{r^3}\right),

где $\mu_0$ — магнитная константа.

На магнитный диполь $\vec{P}_m$ в поле $\vec{B}$ действует момент сил: $^2$

\vec{M} = [\vec{P}_m, \vec{B}].

Энергия диполя $\vec{P}_m$ в поле $\vec{B}$ :

W = -(\vec{P}_m, \vec{B}).

$^1$ Здесь за $(\vec{a}, \vec{b})$ обозначено скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

$^2$ Здесь за $[\vec{a}, \vec{b}]$ обозначено векторное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Задание:

1. Для магнита с диаметром $d_5 = 15$ мм определите расположение его северного (N) и южного (S) полюсов и подробно опишите способ определения полюсов. Отметьте синим фломастером северный полюс магнита, а красным — южный.

2. Снимите зависимость максимальной силы притяжения $F(r)$ от расстояния $r$ между центрами шаров диаметром $d = 15$ мм. Опишите метод измерений, результаты измерений занесите в таблицу 1. Считая $F \sim r^n$ , определите $n$ . Сравните результат с теорией. При расчетах считайте, что взаимодействие двух однородно намагниченных шаров можно рассматривать как взаимодействие точечных диполей, расположенных в центрах шаров.

3. Измерьте максимальную силу сцепления $F_{ii}$ двух одинаковых шаров с диаметрами $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ , $d_4$ , $d_5$ , $d_6$ , результаты занесите в таблицу 2. Проанализируйте полученные результаты и сравните намагниченности шаров.

4. Найдите отношение $p_{20}/p_{10}$ намагниченности $p_{20}$ шара диаметром $d_6 = 20$ мм к намагниченности $p_{10}$ шара диаметром $d_4 = 10$ мм, внесите результат в таблицу 3.

5. Найдите отношение $B_{20}/B_{10}$ величины индукции магнитного поля $B_{20}$ на полюсе магнита диаметром $d_6 = 20$ мм к величине индукции магнитного поля $B_{10}$ на полюсе магнита диаметром $d_4 = 10$ мм, внесите результат в таблицу 3.

6. Измерьте максимальные силы сцепления шаров $F_{ij}$ различных диаметров для всевозможных пар, занесите результаты в таблицу 4.

7. Выразите максимальную силу сцепления $F^t_{ij}$ шаров разных диаметров $d_i$ и $d_j$ , используя значения сил сцепления шаров с одинаковыми диаметрами $F_{ii}$ и $F_{jj}$ .

8. Рассчитайте значения $F^t_{ij}$ , результаты занесите в таблицу 5. Сравните полученные расчетные значения силы с экспериментальными, измеренными в пункте 6.

Оборудование.

Шарообразные магниты различных диаметров из магнитожёсткого материала (по паре каждого диаметра): $d_1 = 3$ мм, $d_2 = 5$ мм, $d_3 = 7$ мм, $d_4 = 10$ мм, $d_5 = 15$ мм и $d_6 = 20$ мм, точность измерения диаметров $d$ — 0,1 мм; электронные весы (безмен); штатив с закреплёнными уголками с отверстиями; четыре немагнитные чашечки на коромыслах; 8 пластинок толщиной $h = 1{,}2 \pm 0{,}05$ мм каждая.

ВНИМАНИЕ. Уважаемые участники олимпиады! Рекомендуем вам не располагать механические часы вблизи магнитных шариков. Обращаем также ваше внимание на то, что магнитные шарики могут нанести вред в случае защемления участка кожи между двумя шариками.

Отговори

Решение

Если взаимодействующие шары расположить недалеко друг от друга и при этом не препятствовать их свободному вращению, то их магнитные моменты выстроятся вдоль линии, соединяющей центры шаров. Такое расположение соответствует минимуму энергии магнитного взаимодействия шаров. Если шары отпустить, то они сцепятся противоположными полюсами.

Для определения северного и южного полюсов шара диаметром $d_5 = 15$ мм подцепим к его противоположным полюсам два маленьких 3-х миллиметровых шарика и положим его на поверхность стола. Расположим наш шар подальше от магнитных предметов и других магнитов. Шар под действием магнитного поля Земли развернётся так, что один из подцепленных маленьких магнитиков будет смотреть вверх, а другой — вниз (рис. 10). Нижний шарик соответствует северному, а верхний — южному полюсу большого шара. Это связано с тем, что Екатеринбург — город, где проходит олимпиада — находится в северном полушарии Земли, и силовые линии магнитного поля наклонены под углом к горизонту вниз. Пометим полюса магнита фломастером: синим цветом — северный полюс, красным — южный. Аналогичным образом определим и пометим полюса остальных шариков.

Шар диаметром 15 мм лежит на заштрихованной поверхности стола; к нему прицеплены два шарика 3 мм — сверху справа и снизу слева; внутри шара стрелка от S к N направлена вниз влево; сверху стрелка влево с подписью «направление на север». — Рис. 10

Снимем зависимость силы взаимодействия $F(r)$ шаров диаметром $d = 15$ мм от расстояния $r$ между центрами шаров. Для этого соберём схему, показанную на рис. 11.

Слева фотография установки: электронный безмен на жёлтой стойке с подвешенной чашечкой над алюминиевым уголком. Справа схема: штатив с крюком и барашком, весы, чашечка; увеличенный фрагмент показывает чашечку с магнитным шариком, пластинки и нижний шарик в уголке, с подписями «чашечка», «магнитные шарики», «пластинки». — Рис. 11

Отверстия в чашке и уголке должны быть такими, чтобы шары соприкасались, причём соприкасались полюсами: сила притяжения шаров при этом будет максимальная. Силу притяжения измеряем с помощью весов следующим образом: вращая барашек крюка, опустим чашечку до заведомого соприкосновения верхнего шара с нижним. В этом случае часть силы сцепления магнитных шаров уравновешивается силой упругости шаров, а часть — натяжением весов. Будем медленно затягивать барашек, приподнимая чашечку. Сила упругости будет уменьшаться и достигнет нуля в момент отрыва верхнего шара от нижнего. В этот момент показания весов $M$ максимальны. Дальнейшее поднятие чашки приведёт к увеличению расстояния между шарами и ослабевания магнитной силы. Таким образом, максимальные показания весов соответствуют силе взаимодействия шаров при их соприкосновении.

Для учёта веса чашки с шаром, подвешиваем шар с чашкой на весах вдали от магнитов и с помощью клавиши «TARE» обнуляем показание весов. Расстояние между шарами можно изменять, прокладывая между шарами разное количество пластин известной толщины, при этом так же будем записывать максимальные показания весов, соответствующие отрыву верхнего шара от пластин. Результаты измерений представлены в Таблице 1, где $m$ — количество пластинок между шарами, $r = d + mh$ — расстояние между центрами шаров, $M$ — показания весов, $F$ — сила взаимодействия шаров, $r_0 = 1$ мм, $F_0 = 1$ гс $^1$ ,.

Таблица 1. Зависимость $F(r)$ .

$m$	$r$ , мм	$M$ , кг	$F$ , гс	$r^{-4}$ , $10^{-6}$ мм $^{-4}$	$\ln r/r_0$	$\ln F/F_0$
0	15,0	2,800	2800	19,8	2,708	7,94
1	16,2	2,080	2080	14,5	2,785	7,64
2	17,4	1,520	1520	10,9	2,856	7,33
3	18,6	1,140	1140	8,4	2,923	7,04
4	19,8	0,865	865	6,5	2,986	6,76
5	21,0	0,680	680	5,1	3,045	6,52
6	22,2	0,540	540	4,1	3,100	6,29
7	23,4	0,430	430	3,3	3,153	6,06
8	24,6	0,350	350	2,7	3,203	5,86

Чтобы определить степень, построим график $F(r)$ в двойном логарифмическом масштабе (рис. 12). По наклону графика определим $n = -4{,}23 \pm 0{,}25$ .

Найдём теоретическое значение $n$ . Энергия взаимодействия двух сонаправленных точечных диполей $P_1$ и $P_2$ , ориентированных вдоль соединяющей их линии:

W = -\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{P_1P_2}{r^3}.

$^1$ В данном случае удобно пользоваться такой внесистемной единицей измерения как грамм-сила, гс. Сила в 1 гс соответствует весу 1 грамма.

Тогда сила их взаимодействия:

F = -\frac{\partial W}{\partial r} = -\frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{P_1P_2}{r^4}.

Знак «минус» означает, что шары притягиваются. Таким образом, теоретическое значение $n = -4$ .

График ln F/F0 (6,0–8,0) от ln r/r0 (2,7–3,2): точки с горизонтальными отрезками погрешностей лежат на убывающей прямой. — Рис. 12

График F, гс (0–2500) от r^−4, 10^−6 мм^−4 (0–20): точки с погрешностями лежат на возрастающей прямой. — Рис. 13

Видно, что в пределах погрешности теоретическое значение $n$ совпадает с экспериментальным, а значит, магнитные шары действительно взаимодействуют как жёсткие точечные диполи, расположенные в центрах шаров.

Соответствие теории эксперименту можно также показать, построив график зависимости $F(r^{-4})$ (рис. 13). Через экспериментальные точки можно провести прямую, проходящую через начало координат, что подтверждает совпадение теории с экспериментом в пределах погрешности.

Таким же методом измеряем максимальную силу сцепления одинаковых шаров. Максимальная сила будет достигаться при их касании разноимёнными полюсами. Данные приведены в таблице 2.

Таблица 2. Зависимость $F_{ii}(d)$

$i$	$d_i$ , мм	$F_{ii}$ , гс	$\sqrt{F_{ii}}$ , гс $^{1/2}$
1	3	113	10,6
2	5	305	17,5
3	7	630	25,1
4	10	1350	36,7
5	15	2800	52,9
6	20	430	20,7

Если предположить, что некоторые шары намагничены одинаково и взаимодействуют как точечные жёсткие диполи, то силы сцепления увеличиваются пропорционально квадрату диаметра:

F \sim \frac{P_m^2}{d^4} = \frac{(pV)^2}{d^4} \sim \frac{p^2d^6}{d^4} = p^2d^2.

Для проверки этой зависимости строим график зависимости в координатах $(d, \sqrt{F})$ . Видно, что точки, соответствующие шарам 1–5, лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, а точка, соответствующая шарику 6, не лежит на этой прямой. Это означает, что намагниченность шаров 1-5 диаметрами $d_{1-5} = 3$ –15 мм в пределах точности измерений одинакова, а намагниченность шарика диаметра $d_6 = 20$ мм заметно меньше.

График √F, гс^1/2 (0–50) от d, мм (0–20): сплошная прямая k1 через начало координат и точки при d = 3, 5, 7, 10, 15; штриховая прямая k2 через начало и точку при d = 20. — Рис. 14

Определим отношение намагниченностей $p_{20}/p_{10}$ шариков $d_6 = 20$ мм и $d_4 = 10$ мм. Проще всего это сделать по графику в пункте 3, найдя отношение угловых коэффициентов построенных прямых:

\frac{p_{20}}{p_{10}} = \frac{k_2}{k_1} = 0{,}285 \pm 0{,}010.

Найдём отношение полей $B_{20}/B_{10}$ на полюсах магнитов с $d_6 = 20$ мм и $d_4 = 10$ мм. Величина магнитного поля на полюсе шара пропорциональна его намагниченности и не зависит от его радиуса $R = d/2$ :

B \sim \frac{P_m}{R^3} = \frac{pV}{R^3} \sim p, \qquad \text{тогда} \qquad \frac{B_{20}}{B_{10}} = \frac{p_{20}}{p_{10}} = 0{,}285 \pm 0{,}010.

Измерим максимальные силы взаимодействия $F_{ij}$ шаров разных диаметров. Результаты измерений представлены в таблице 3.

Таблица 3. Экспериментальные значения силы взаимодействия $F_{ij}$ и их теоретические значения $F^t_{ij}$ .

$F_{ij}$ , гс / $F^t_{ij}$ , гс	1	2	3	4	5	6
1	113	170	205	210	190	45
		163	188	196	173	45
2		305	420	505	540	175
			414	507	520	148
3			630	895	1025	315
				866	1000	307
4				1350	1835	660
					1792	602
5					2800	1135
						1053
6						430

Рассчитаем силу взаимодействия двух шаров разных диаметров $d_i$ и $d_j$ :

F_{ij} = -\frac{3\mu_0}{2\pi}P_iP_j\left(\frac{d_i + d_i}{2}\right)^{-4} \sim \frac{P_iP_j}{(d_i + d_j)^4}.

Для одинаковых шаров $i = j$ эта формула даёт:

F_{ii} \sim \frac{P_i^2}{16d_i^4}, \qquad F_{jj} \sim \frac{P_j^2}{16d_j^4}.

Окончательно получим:

F_{ij} = \sqrt{F_{ii}F_{jj}}\frac{16d_i^2d_j^2}{(d_i + d_j)^4}. \qquad (2)

Эта формула позволяет теоретически выразить силу $F_{ij}$ сцепления шаров разных диаметров через силы сцепления одинаковых шаров $F_{ii}$ и $F_{jj}$ .

Рассчитаем по формуле (2) теоретические значения $F^t_{ij}$ и внесём их в таблицу 3. По таблице видно, что для большинства ячеек различие экспериментальных значений с расчётными не превышает 2–5 %, таким образом в пределах точности измерений эксперимент согласуется с теорией.

Оригинал в Архива: finalE15.pdf