Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. Колебания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

По поверхности закреплённой диэлектрической полусферы равномерно распределён положительный электрический заряд. Ось симметрии полусферы вертикальна. В точке O, совпадающей с центром кривизны полусферы, закреплён математический маятник в виде небольшого шарика с зарядом $q_1$ , висящего на нити, длина которой меньше радиуса полусферы (рис. 9). Период гармонических колебаний шарика вблизи положения равновесия, в котором нить вертикальна, равен $T$ . После того, как заряд шарика изменили так, что он стал равен $q_2$ , причем $|q_2/q_1| = 2$ , период гармонических колебаний шарика вблизи нового положения равновесия, в котором нить тоже вертикальна, снова оказался равным $T$ . Найдите числовое значение $T$ , если известно, что период гармонических колебаний маятника в незаряженной чаше $T_0 = 1{,}0$ с. Поле поляризационных зарядов не учитывайте.

Заряженная (знаки +) полусфера-чаша с центром O; на нити из точки O висит шарик с зарядом q; стрелка ускорения свободного падения g вниз. — Рис. 9

Отговори

Решение

Известно, что напряженность электростатического поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. Поле в некоторой точке $A$ складывается из полей, создаваемых верхней и нижней половинами сферы:

\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0. \qquad (1)

Пусть точка $B$ симметрична точке $A$ относительно центра сферы (рис. 21). Из соображения симметрии напряженность поля, создаваемого в точке $A$ нижней половиной сферы, равна по модулю и противоположна по направлению полю, создаваемому в точке $B$ верхней половиной сферы : $\vec{E}_1' = -\vec{E}_1$ . Тогда по формуле (1) получим $\vec{E}_1' = \vec{E}_2$ , то есть величины напряженности поля, создаваемого однородно заряженной полусферой в симметричных относительно ее центра точках, равны.

Сфера с центром O и горизонтальным штриховым диаметром; точки A и B симметричны относительно O; в точке B векторы E2 и E1, в точке A вектор E1′. — Рис. 21

Заряженная полусфера (знаки +) с краями M и P и центром O; точка A на нити маятника, вектор E⊥; штриховая линия от M к точке N на полусфере. — Рис. 22

Заряженная полусфера с центром O; нижнее положение шарика ±q на нити длины l, отклонённое на угол φ (точка A, вектор E1⊥) и верхнее положение шарика +2q над O (точка B, вектор E2⊥); стрелка g вниз. — Рис. 23

Определим направление составляющей поля, перпендикулярной нити маятника, в точке $A$ (рис. 22). Проведем плоскость, перпендикулярную нити маятника, проходящую через левый край сферы. Тогда часть $MN$ сферы создает поле, параллельное нити маятника. Составляющая поля, перпендикулярная нити маятника, создается только оставшейся частью полусферы, следовательно большая часть заряда, создающего это поле, расположена в части полусферы, более удаленной от точки $A$ ; значит, составляющая поля направлена в сторону смещения маятника.

После изменения заряда шарика его положение равновесия должно располагаться выше точки подвеса, так как иначе невозможно равенство старого и нового периодов. Когда шарик расположен выше точки подвеса, при его смещении от положения равновесия возвращающая сила может возникнуть только за счет электростатического взаимодействия, следовательно должно быть $q_2 > 0$ (рис. 23).

В нижней точке при отклонении маятника на небольшой угол $\varphi$ от положения равновесия возникает возвращающая сила $f_1$ . Вклад в эту силу за счет электрического взаимодействия заряда с чашей пропорционален величине заряда и углу отклонения, поэтому:

f_1 = (\alpha q_1 - mg)\varphi.

В верхней точке (заряд шарика $q_2$ ) возвращающая сила равна:

f_2 = (-\alpha q_2 + mg)\varphi.

Соответствующие уравнения колебаний имеют вид (здесь $l$ — длина нити маятника):

\begin{aligned} &ml\ddot{\varphi} + (mg - \alpha q_1)\,\varphi = 0 \quad \text{для нижней точки},\\ &ml\ddot{\varphi} + (\alpha q_2 - mg)\,\varphi = 0 \quad \text{для верхней точки}. \end{aligned}

Тогда частоты колебаний вблизи нижнего и верхнего положений равновесия будут равны, соответственно,

\begin{aligned} \omega_1^2 &= \omega_0^2 - \beta q_1,\\ \omega_2^2 &= -\omega_0^2 + \beta q_2, \end{aligned}

где $\omega_0^2 = g/l$ - частота колебаний в незаряженной полусфере, $\beta = \alpha/(ml)$ — константа.

Условие задачи может реализовываться в двух случаях: $q_1 > 0$ и $q_1 < 0$ . В обоих случаях шарик вначале колеблется вблизи нижнего, а затем вблизи верхнего положения равновесия.

Случай 1

Рассмотрим случай $q_1 > 0$ . Тогда $q_2 = 2q_1$ .

По условию $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ , следовательно, получаем

\omega_0^2 - \beta q_1 = -\omega_0^2 + 2\beta q_1, \qquad \text{отсюда} \qquad \beta q_1 = \frac{2}{3}\omega_0^2

Следовательно $\omega^2 = \frac{1}{3}\omega_0^2$ и период колебаний

T = \frac{2\pi}{\omega} = T_0\sqrt{3} = 1{,}73\ \text{с}.

Здесь $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$ — период колебаний маятника в незаряженной полусфере.

Случай 2

Рассмотрим случай $q_1 < 0$ . Тогда $q_2 = -2q_1$ .

Аналогично случаю 1 приравниваем значения частот $\omega_1$ и $\omega_2$ , находим $\beta q_1 = -2\omega_0^2$ . Отсюда $\omega^2 = 3\omega_0^2$ и период колебаний:

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{T_0}{\sqrt{3}} = 0{,}58\ \text{с}.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf