Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. Стенка с дыркой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Три одинаковых бруска движутся с одинаковыми скоростями $\vec{v}$ . Длинная лёгкая упругая резинка, связывающая первый и второй бруски, проходит сквозь отверстие в массивной стене и через лёгкий блок, прикреплённый к третьему бруску (рис. 8). В начальный момент времени резинка не растянута. Определите скорости брусков после упругого столкновения первого бруска со стеной в момент времени, когда резинка оказалась

Брусок 3 с лёгким блоком, брусок 2 и брусок 1 по разные стороны массивной стены с отверстием; резинка от бруска 2 через блок и отверстие к бруску 1; стрелка скорости v влево. — Рис. 8

1. максимально растянутой;

2. снова ненатянутой.

Трение в системе не учитывайте. Считайте, что пока резинка не станет снова ненатянутой, груз 2 не сталкивается с блоком, а груз 1 не ударяется о стену.

Отговори

Решение

При упругом ударе бруска 1 о стену изменяется направление его скорости при сохранении величины скорости. В этот момент времени скорости равны $v_1 = -v$ , $v_2 = v_3 = v$ (рис. 17).

Бруски 3 (с блоком), 2 и 1 со стрелками скоростей v3, v2 (влево) и v1 (вправо); ось x направлена влево. — Рис. 17

Резинка будет максимально натянутой, когда скорость увеличения её длины станет равна нулю. Эту скорость можно выразить через скорости брусков в момент максимального растяжения:

v_{\text{растяжения}} = 2v_3 - v_2 - v_1 = 0. \qquad (20)

На систему не действуют внешние силы, поэтому, из закона сохранения импульса следует:

v_3 + v_2 + v_1 = v. \qquad (21)

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго брусков:

m\frac{\Delta v_2}{\Delta t} = T, \quad m\frac{\Delta v_1}{\Delta t} = T.

Отсюда видно, что изменение скоростей первого и второго бруска в любой момент времени связано соотношением $\Delta v_1 = \Delta v_2$ , а значит, и суммарные изменения скоростей связаны таким же образом:

v_2 - v = v_1 - (-v). \qquad (22)

Из трех уравнений (20), (21), (22) получаем значения скоростей в момент времени, когда резинка максимально растянута

v_1 = -\frac{2}{3}v, \quad v_2 = \frac{4}{3}v, \quad v_3 = \frac{1}{3}v.

Обозначим скорости брусков в момент времени, когда резинка снова не натянута, как $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ . Закон сохранения импульса (21) и связь между скоростями $v_1$ и $v_2$ (22) остаются прежними.

Условием того, что резинка не натянута, является равенство нулю потенциальной энергии резинки. Из закона сохранения энергии следует:

3v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \qquad (23)

Из уравнений (21), (22), (23) получаем два решения. Первое решение:

v_1 = -v, \quad v_2 = v, \quad v_3 = v,

соответствует начальной ситуации, которая больше не повторится.

Второе решение:

v_1 = -\frac{1}{3}v, \quad v_2 = \frac{5}{3}v, \quad v_3 = -\frac{1}{3}v,

является ответом на второй вопрос задачи.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf