Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. Термоэлектродинамика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Два диска, по которым равномерно распределены заряды $q$ и $-q$ , могут двигаться без трения в длинном непроводящем теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально (рис. 7). Расстояние между дисками много меньше их радиуса. Между дисками находится некоторое количество гелия, за дисками газа нет, система находится в равновесии. Заряды дисков мгновенно уменьшают вдвое, после чего ожидают прихода системы в равновесие. Пренебрегая теплообменом, найдите, во сколько раз изменятся температура газа и расстояние между дисками.

Горизонтальный цилиндр с двумя дисками с зарядами q и −q; между дисками точками изображён газ. — Рис. 7

Отговори

Решение

Обозначим через $V$ , $P$ и $T$ начальные значения объёма, давления и температуры газа, $d$ — начальное расстояние между дисками, а те же величины с индексом 1 — те же параметры в конечном состоянии. Так как расстояние между дисками много меньше их радиуса, напряжённость поля диска можно вычислять, считая его равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

E = \frac{q}{2\varepsilon_0S},

где $S$ — площадь дисков.

Тогда на второй диск со стороны первого действует сила $F = qE$ :

F = qE = \frac{q^2}{2\varepsilon_0S}.

Сила пропорциональна квадрату заряда и не зависит от расстояния между пластинами, поэтому конечное равновесное давление будет в четыре раза меньше начального.

Энергия конденсатора равна

W_c = \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2d}{2\varepsilon_0S} = Fd = PV.

Рассмотрим систему, состоящую из газа и заряженных пластин. Её энергия равна

W = PV + \frac{3}{2}PV = \frac{5}{2}PV = \frac{5}{2}\nu RT.

Энергия системы в конечном равновесном состоянии должна равняться начальной энергии:

\frac{5}{2}P_1V_1 = \frac{3}{2}PV + \frac{P}{4}V, \qquad \text{откуда} \qquad \frac{5}{2}\nu RT_1 = \frac{7}{4}\nu RT, \qquad \text{и} \qquad T_1 = \frac{7}{10}T.

Теперь, используя $P_1 = P/4$ :

\frac{P_1V_1}{PV} = \frac{T_1}{T} = \frac{7}{10}, \qquad \text{откуда} \qquad \frac{d_1}{d} = \frac{V_1}{V} = \frac{14}{5}.

Полученный ответ подтверждает предположение о малости $d$ в конечном состоянии.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf