ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. Исследование планеты

• 680 К

  Ответ официального решения: T0 = 680 ± 40 К. В тексте решения напечатано l0 = 2,5 км, l1 = 1,25 км и T0 = T1·l0/l1, что дало бы 500 К; на рис. 16 отрезок l1 ≈ 2,5 км, а l0 ≈ 1,25 км — значения в источнике не согласованы.

Рассмотрим участок атмосферы площадью поперечного сечения $S$, находящийся между слоями с координатами $z$ и $z + \Delta z$. На него действуют: снизу — сила давления $p(z)S$, сверху — сила давления $p(z + \Delta z)S$; также действует направленная вниз сила тяжести $\rho S\Delta zg$, где $\rho$ — плотность воздуха на данной высоте. Так как атмосфера находится в равновесии, сумма сил, приложенных к рассматриваемому участку, равна 0:

Перепишем данное уравнение в виде $\Delta p = -\rho g\Delta z$, где $\Delta p = p(z + \Delta z) - p(z)$. Учитывая, что температура атмосферы $T$ выражается через давление, плотность, молярную массу $\mu$ и универсальную газовую постоянную $R$ соотношением $p = \frac{\rho}{\mu}RT$, получим:

Величины $\mu$ и $g$ можно считать постоянными: атмосферу считаем состоящей из углекислого газа, $g$ считаем постоянным, так как радиус планеты много больше величины перемещения спускаемого аппарата. Следовательно, температура пропорциональна величине:

Это выражение при $z = 0$ и $z = 5$ км можно найти графически: провести касательную к графику и отметить точку пересечения касательной с горизонтальной осью. Учитывая, что $l_0 = 2{,}5$ км, $l_1 = 1{,}25$ км, для температуры $T_0$ у поверхности планеты получим $T_0 = T_1l_0/l_1 = 680 \pm 40$ К. Ответ записан с погрешностью, так как касательные проводятся с некоторой точностью. Нахождение погрешностей не требовалось и не оценивается.