Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. Упругая система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

На гладкой горизонтальной поверхности расположена конструкция, показанная на рисунке 6 (вид сверху). Один конец пружины жёсткости $k_1$ прикреплён к грузу массы $m$ , второй — к палочке П. У пружины жёсткости $k_2$ один конец закреплён неподвижно, а второй прикреплён к той же палочке П. На палочку всё время действует сила $F$ , остающаяся постоянной по величине и направлению что бы ни случилось. Поначалу груз $m$ удерживают неподвижно, а затем отпускают без толчка.

Вид сверху: пружина k2 от неподвижной стенки к палочке П, пружина k1 от груза m к той же палочке; к палочке приложена сила F, направленная вправо. — Рис. 6

1. Найдите максимальную скорость груза.

2. Найдите удлинение первой пружины в момент, когда её длина будет минимальна.

Считайте, что масса пружин и палочки равна нулю, длины пружин в недеформированном состоянии одинаковы, растяжения пружин в момент отпускания груза тоже одинаковы, силу $F$ прикладывают к палочке таким образом, что она движется поступательно (не поворачивается при движении), трение отсутствует.

Отговори

Решение

Из условия следует, что сумма сил натяжения пружин всегда равна $F$ , растяжения пружин в начальный момент одинаковы и равны $x_0 = F/k$ , где $k = k_1 + k_2$ , суммарная начальная энергия пружин $E_0 = F^2/2k$ .

В момент, когда скорость груза максимальна, его ускорение равно нулю, значит первая пружина недеформирована, а вторая растянута силой $F$ . Приравнивая работу силы $F$ изменению энергии системы, получим

F\left(\frac{F}{k_2} - \frac{F}{k}\right) = \frac{mv^2}{2} + \frac{F^2}{2k_2} - \frac{F^2}{2k},

откуда максимальная скорость груза:

v = F\sqrt{\frac{k_1}{mk_2(k_1 + k_2)}}.

Так как сумма сил натяжения пружин постоянна, минимальность одной из них означает максимальность другой, поэтому в момент минимального удлинения одной из пружин скорость изменения длины будет нулевой у обеих пружин, а значит, будет равна нулю и скорость груза. Тогда для растяжений пружин $x_1$ и $x_2$ в этот момент получим систему уравнений:

\begin{cases} k_1x_1 + k_2x_2 = F,\\ F(x_2 - x_0) + \dfrac{kx_0^2}{2} = \dfrac{k_1x_1^2}{2} + \dfrac{k_2x_2^2}{2}. \end{cases}

Решение системы существенно облегчается, если заметить, что начальные значения растяжений $x_1 = x_2 = x_0$ должны ей удовлетворять, так как скорость груза в начальный момент равна нулю. Второе решение

x_1 = -x_0, \qquad x_2 = x_0\frac{2k_1 + k_2}{k_2}.

Таким образом удлинение первой пружины в момент, когда её длина будет минимальна, равно

x_1 = -\frac{F}{k_1 + k_2}.

Отрицательный знак означает, что пружина в этот момент будет сжата.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf