Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. Чунга-Чанга

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Чебурашка и крокодил Гена весной поехали в Лагерь Дружбы на острове Чунга-Чанга. Остров расположен на экваторе. На территории лагеря построены два типовых 100-этажных корпуса (в виде прямоугольных параллелепипедов), один строго на востоке от другого. Здания корпусов параллельны друг другу и перпендикулярны экватору (рис. 5). Чебурашка поселился в западном корпусе, а крокодил Гена - на десятом этаже восточного корпуса. Окна их комнат оказались выходящими друг на друга. В день весеннего равноденствия, 21 марта, солнце светило в окно Гены в течение $T_1 = 2$ часов, а в окно Чебурашки — $T_2 = 4$ часов.

Два одинаковых высоких корпуса в виде прямоугольных параллелепипедов, стоящих на линии с подписью «экватор». — Рис. 5

1. На каком этаже живёт Чебурашка?

2. Что показывали часы Чебурашки, когда окна в корпусе Гены ему впервые показались золотыми?

3. В течение какого времени окна в корпусе Гены казались Чебурашке золотыми?

Примечание. Окна кажутся золотыми, когда в них отражается Солнце. Многократные отражения не учитывать. В 12 часов Солнце находилось в зените.

Отговори

Решение

Чебурашка и Гена видят, как Солнце перемещается с востока на запад с угловой скоростью

\omega = \frac{360^{\circ}}{24\ \text{ч}} = 15^{\circ}/\text{ч}.

Как следует из рисунка 14, Солнце видно из окон крокодила Гены от полудня, когда Солнце в зените, до времени, когда оно скроется за корпусом Чебурашки. При этом оно сместится на угол

\alpha = \omega T_1 = 30^{\circ}.

По аналогии найдём, что за время, пока Солнце светило в окно Чебурашки, оно сместилось на угол

\beta = \omega T_2 = 60^{\circ}.

Пусть высота одного этажа равна $h$ , номер этажа на котором живёт Чебурашка $n$ , а расстояние между корпусами вдоль экватора, соответственно, $L$ . Тогда, исходя из рисунка 14, мы можем записать два уравнения:

\frac{L}{(100 - 10)h} = \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}},

\frac{L}{(100 - n)h} = \operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}.

Из них находим номер этажа, на котором жил Чебурашка:

n = 100 - 90\frac{\operatorname{tg} 30^{\circ}}{\operatorname{tg} 60^{\circ}} = 70.

Два корпуса на земле (подписи «Корпус Чебурашки» слева, «Корпус Гены» справа), расстояние L между ними; лучи Солнца под углами α и β к вертикали; отрезки (100 − n)h и 90h. — Рис. 14

Два корпуса на расстоянии L (подписи «Корпус Чебурашки», «Корпус Гены»); солнечные лучи под углами φ1 и φ2 отражаются от корпуса Гены в окно Чебурашки; отрезки 30h и 15h. — Рис. 15

Заметим, что в полдень (в 12 часов) Солнце находится строго в зените. Через некоторое время $t_1$ окна в корпусе Гены стали казаться Чебурашке золотыми. Это произошло тогда, когда прямые солнечные лучи, отраженные от окон верхнего этажа корпуса Гены, попали в окно Чебурашки (рис. 15). За время $t_1$ Солнце опустилось угол $\varphi_1$ такой, что

\operatorname{tg}\varphi_1 = \frac{L}{30h} = \sqrt{3}, \quad \text{откуда} \quad \varphi_1 = 60^{\circ}.

Значит, $t_1 = \varphi_1/\omega = 4$ ч, и часы Чебурашки показывали 16 часов в момент, когда окна корпуса Гены стали казаться золотыми.

Пусть через время $t_2$ после полудня окна перестали казаться золотыми. В этот момент луч от Солнца, отражающийся от корпуса Гены и попадающий в окно Чебурашки, проходит через край корпуса Чебурашки. Найдём угол $\varphi_2$ , который в этот момент будет составлять Солнце с вертикалью:

\operatorname{tg}\varphi_2 = \frac{L}{15h} = 2\sqrt{3}, \quad \text{откуда} \quad \varphi_2 \approx 73{,}9^{\circ}.

Значит, $t_2 = \varphi_2/\omega \approx 4{,}93$ ч. Окна в корпусе Гены казались Чебурашке золотыми в течение 56 минут.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf