Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Неидеальные диоды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Электрическая цепь, схема которой представлена на рисунке 3, содержит три одинаковых резистора сопротивлением $R_1 = R_2 = R_3 = R$ и три одинаковых диода $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ . Зависимость силы тока, протекающего через диод, от напряжения на нём представлена на рисунке 4. Определите силу тока через амперметр $I_{\text{А}}$ в зависимости от напряжения $U_{\text{АВ}}$ между точками А и В. Амперметр идеальный. Постройте график зависимости $I_{\text{А}}$ от $U_{\text{АВ}}$ , указав значение силы тока и напряжение в характерных точках (например, максимум, минимум, излом).

Схема-ромб с вершинами A, C, B, D: между A и C диоды D2 и D3, между C и B резистор R3, между A и D резистор R1, между D и B диод D1; между C и D резистор R2 последовательно с амперметром A. — Рис. 3

Вольт-амперная характеристика диода: ток I равен нулю при U от 0 до U0, при U = U0 — вертикальный отрезок вверх. — Рис. 4

Отговори

Решение

Рассмотрим случай, когда «+» источника подключается к точке А. Напряжение $U_{\text{АВ}}$ в этом случае будем считать положительным. Если напряжение на диоде меньше величины $U_0$ , ток через него не идет (диод закрыт). При малых значениях $U_{\text{АВ}}$ все три диода закрыты, а ток, протекающий через резисторы, равен

I_A = \frac{U_{\text{АВ}}}{3R}. \qquad (1)

и течет от $D$ к $C$ . При построении графика $I_{\text{А}}(U_{\text{АВ}})$ это направление тока будем считать положительным. Зависимость (1) имеет место, пока напряжение на диоде $D_1$ не достигнет $U_0$ , т.е. при

U_{DB} = I_A \cdot 2R < U_0,

или $U_{\text{АВ}} < \frac{3}{2}U_0$ . Итак, $I_A = \frac{U_{\text{АВ}}}{3R}$ при $U_{\text{АВ}} < \frac{3}{2}U_0$ .

При $U_{AB} = 3U_0/2$ диод $D_1$ открывается, и, как следует из вольтамперной характеристики диода, напряжение на участке DB будет равно $U_0$ при любых значениях напряжения $U_{AB} > 3U_0/2$ . Поэтому, пока не откроются диоды $D_2$ и $D_3$ , ток через амперметр положителен и равен

I = \frac{U_0}{2R}

Диоды $D_2$ и $D_3$ открываются, когда напряжение на участке AC станет равным $2U_0$ . А поскольку напряжение на участке CB при открытом диоде $D_1$ равно $U_0/2$ , то открывание диодов $D_2$ и $D_3$ произойдёт при напряжении $U_{AB} = 2U_0 + U_0/2 = 5U_0/2$ . При этом разность потенциалов на участке AC равна $2U_0$ , а на участке DB $U_0$ . Следовательно, напряжение $U_{DC}$ при открытых диодах равно

U_{DC} = \varphi_D - \varphi_C = \varphi_B + U_0 - (\varphi_A - 2U_0) = \varphi_B - \varphi_A + 3U_0 = 3U_0 - U_{AB},

где $\varphi_A$ , $\varphi_B$ , $\varphi_C$ и $\varphi_D$ – потенциалы точек A, B, C и D соответственно. Поэтому ток через амперметр при открытых диодах равен

I_A = \frac{3U_0}{R} - \frac{U_{AB}}{R}. \qquad (2)

Ток (2) при напряжении $U_{AB} = 5U_0/2$ совпадает с током до открывания диодов $D_2$ и $D_3$ . Это значит, что зависимость тока через амперметр от $U_{AB}$ при $U_{AB} > 5U_0/2$ — линейная убывающая функция, не имеющая разрыва в точке $U_{AB} = 5U_0/2$ , с угловым коэффициентом наклона по модулю втрое большим, чем на участке $U < 3U_0/2$ .

В случае, когда «+» источника подключен к $B$ т.е. $U_{\text{АВ}} < 0$ , все диоды закрыты, и ток течет через три последовательно соединенных резистора. Его величина $I_A = \frac{U_{\text{АВ}}}{3R}$ , при этом $I_A < 0$ . График зависимости $I_A$ от $U_{AB}$ приведен на рисунке 13:

График I_A от U_AB: прямая через начало координат (продолжается в область отрицательных U_AB) до излома при 3U0/2, горизонтальный участок на уровне U0/(2R) до 5U0/2, затем убывающая прямая, пересекающая ось U_AB в точке 3U0. — Рис. 13

Ответ:

\begin{aligned} I_A &= \frac{U_{\text{АВ}}}{3R} && \text{при } U_{\text{АВ}} < \frac{3}{2}U_0,\\ I_A &= \frac{U_0}{2R} && \text{при } \frac{3}{2}U_0 < U_{\text{АВ}} < \frac{5}{2}U_0,\\ I_A &= \frac{3U_0 - U_{\text{АВ}}}{R} && \text{при } U_{\text{АВ}} > \frac{5}{2}U_0. \end{aligned}

Оригинал в Архива: finalT15.pdf