Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. Жара в холодильнике

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В жаркие летние дни, когда в комнате установилась температура $t_0 = 30^{\circ}\text{С}$ , экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что время работы двигателя холодильника стало вдвое превышать время бездействия. Решив оптимизировать его работу, экспериментатор регулятором изменил температуру внутри холодильника на $\Delta\theta = 9\ {}^{\circ}\text{С}$ . В результате, время бездействия стало вдвое больше времени работы. Определите:

1. На какие температуры $t_1$ и $t_2$ был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента?

2. На какую внутреннюю температуру $t_m$ надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва?

3. При какой выставленной регулятором температуре $t_3$ частота включения холодильника станет максимальной?

Указание: Регулятор задает температуру внутри холодильника $t$ в небольшом интервале $t\pm\Delta t/2$ . Когда температура внутри становится равной $t+\Delta t/2$ , двигатель холодильника включается, когда она снижается до $t - \Delta t/2$ — выключается. Считайте, что:

мощность подводимого тепла пропорциональна разности температуры внутри холодильника и окружающей среды и постоянна во всем интервале внутренних температур $t \pm \Delta t/2$ .
тепловая мощность, отбираемая двигателем во время его работы у внутреннего объема холодильника, не зависит от температур.
изменением температуры в комнате можно пренебречь.

Отговори

Решение

Пусть $P$ — мощность поступающей за счёт теплообмена из окружающей среды теплоты, $P = \alpha(t - t_0)$ , $P_0$ — мощность отводимой за счёт работы холодильника теплоты, $C$ — теплоёмкость холодильника с содержимым.

Для нагрева холодильника на $\Delta t$ требуется время $T$ (время бездействия):

T = \frac{C\Delta t}{P} = \frac{C\Delta t}{\alpha(t_0 - t)}. \qquad (18)

Далее включается двигатель и температура в холодильнике понижается на $\Delta t$ за время $\tau$ (время работы):

\tau = \frac{C\Delta t}{P_0 - P} = \frac{C\Delta t}{P_0 - \alpha(t_0 - t)}. \qquad (19)

Пусть изначально температура в холодильнике была равна $t = t_1$ , при этом $\tau = 2T$ , откуда, с учётом (18) и (19) получим:

t_1 = t_0 - \frac{2P_0}{3\alpha}.

Во втором случае $2\tau = T$ при $t = t_2$ , откуда с учётом (18) и (19) получим:

t_2 = t_0 - \frac{P_0}{3\alpha}.

Тогда $\theta = t_2 - t_1 = P_0/(3\alpha)$ , откуда

t_1 = t_0 - 2\theta = 12^{\circ}\text{С}, \quad t_2 = t_0 - \theta = 21^{\circ}\text{С}.

Двигатель холодильника будет работать непрерывно, если мощность отводимой им теплоты будет меньше или равна мощности теплоты, подводящейся из окружающей среды:

P_0 \leqslant \alpha(t_0 - t), \quad \text{откуда} \quad t \leqslant t_0 - \frac{P_0}{\alpha},

значит,

t_m = t_0 - \frac{P_0}{\alpha} = t_0 - 3\theta = 3\ {}^{\circ}\text{С}.

В решении первого пункта задачи было показано, что время между двумя последовательными включениями холодильника равно

T + \tau = \frac{C\Delta t}{P} + \frac{C\Delta t}{\alpha(t_0 - t)} = \frac{C\Delta tP_0}{\alpha(t_0 - t)(P_0 - \alpha(t_0 - t))}.

Частота включения холодильника максимальна, когда максимальна величина $y = \alpha(t_0 - t)(P_0 - \alpha(t_0 - t))$ . Для удобства обозначим $(t_0 - t)$ за $x$ . График $y(x) = \alpha P_0x - \alpha^2x^2$ — парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому $y$ максимально для вершины параболы. Координата вершины параболы $x_{\text{в}} = P_0/(2\alpha)$ , значит,

t_3 = t_0 - \frac{P_0}{2\alpha} = t_0 - \frac{3}{2}\theta = 16{,}5\ {}^{\circ}\text{С}.

Оригинал в Архива: finalT15.pdf