Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 23. Колебаниям – нет!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап 20 января 2016 года · 20 януари 2016 г.

Колонтитул (7–8 класс)

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла — Региональный этап 20 января 2016 года

Колонтитул (9–11 класс)

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 20 января 2016 г.

Условие

Электрическая цепь: конденсатор с зарядом Q₀ и ёмкостью C₀ (обкладки «+» сверху и «−» снизу), последовательно с ним резистор R (сверху) и ключ K (снизу); параллельно катушке индуктивности L подключён вольтметр V.

В электрической цепи (см. рис.), состоящей из резистора сопротивлением $R$ , катушки индуктивностью $L$ , на конденсаторе емкостью $C_0$ находится заряд $Q_0$ . В некоторый момент времени замыкают ключ К и одновременно начинают изменять емкость конденсатора так, что идеальный вольтметр показывает постоянное напряжение.

1) Как зависит от времени емкость конденсатора $C(t)$ при изменении $t$ от 0 до $t_1 = \sqrt{C_0L}$ ?

2) Какую работу за время $t_1$ совершили внешние силы? Считайте, что $t_1 = L/R = \sqrt{C_0L}$ .

Подсказка. Количество теплоты, выделившейся на резисторе за время $t_1$ , равно $W_R = \displaystyle\int_0^{t_1} I^2(t)Rdt = \dfrac{Q_0^2}{3C_0}$ .

Отговори

Решение

Возможное решение. (Осин М.)

В начальный момент времени ток в цепи не течёт, поэтому $U_L = U_C = \dfrac{Q_0}{C_0}$ .

Поскольку $U_L = L\dfrac{dI}{dt}$ и остается постоянным (по условию), то: $I = \dfrac{Q_0}{C_0L}t$ .

По закону Ома для полной цепи

U_C = U_L + RI(t) = L\frac{dI}{dt} + RI(t) = \frac{Q_0}{C_0} + \frac{Q_0R}{C_0L}t = \frac{Q_0}{C_0}\left(1 + \frac{R}{L}t\right).

Заряд на конденсаторе изменяется по закону

Q(t) = Q_0 - \frac{Q_0}{C_0L}\int_0^t \tau d\tau = Q_0\left(1 - \frac{t^2}{2C_0L}\right).

Этот же результат можно получить, вычислив площадь под графиком зависимости $I(t)$ .

Окончательно, $C(t) = \dfrac{Q(t)}{U(t)} = C_0\left(1 - \dfrac{t^2}{2C_0L}\right)\Big/\left(1 + \dfrac{Rt}{L}\right)$ .

Искомую работу найдем из закона сохранения энергии

A = W_R + \Delta W_C + \Delta W_L.

Энергия, запасенная в конденсаторе,

W_C = \frac{1}{2}QU_C = \frac{Q_0^2}{2C_0}\left(1 - \frac{t^2}{2C_0L}\right)\left(1 + \frac{R}{L}t\right).

Отсюда $W_C(0) = \dfrac{1}{2}QU_C = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}$ , $\qquad W_C(t_1) = \dfrac{1}{2}QU_C = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\left(1 - \dfrac{1}{2}\right)\left(1 + 1\right) = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}$ .

Окончательно

A = \frac{Q_0^2}{3C_0} + 0 + \frac{Q_0^2}{2C_0} = \frac{5Q_0^2}{6C_0}.

Примечание. Условие, что напряжение на индуктивности остается постоянным, может выполняться только конечное время, поэтому в вопросе (1) стоит ограничение $t < t_1 = \sqrt{C_0L}$ .

Критерии оценивания

Получена зависимость $I(t)$ — 1 балл
Получена зависимость $U(t)$ — 2 балла
Получена зависимость $Q(t)$ — 2 балла
Найдена зависимость $C(t)$ — 1 балл
Записан закон сохранения энергии — 1 балл
Показано, что энергия конденсатора не изменилась — 2 балла
Вычислена работа внешних сил — 1 балл

Онлайн-разбор (7–8 класс)

Сегодня, 20 января, на портале online.mipt.ru составители данного комплекта проведут онлайн-разбор решений задач. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 16.00; 8 класс – 17.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале online.mipt.ru

Онлайн-разбор (9–11 класс)

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале online.mipt.ru

Оригинал в Архива: region16T.pdf