ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.2. Шарик в жидкости

• 2. 1.17 г/см³

Первым делом определим положение центра масс линейки.

Для измерения силы натяжения будем использовать линейку в качестве рычага, осью которого служит стержень, закреплённый в штативе.

Подвесим шарик так, чтобы он касался поверхности воды, и определим значения величин $h_0$ и $H_0$ (рис. 17).

Уравновесим на рычаге частично погружённый в жидкость шарик. С помощью металлической линейки будем измерять расстояние от уровня жидкости в стакане до его верха $h$ и расстояние от поверхности стола до деревянной линейки $H$ в точке опоры (рис. 18). При этом следим за горизонтальностью линейки, проверяя равенство расстояний от линейки до стола у точки опоры и у свободного конца линейки. Сумма $H + h$ отличается от искомой глубины погружения шарика на постоянную величину $H_0 + h_0$.

Глубина погружения шарика $l = H_0 + h_0 - h - \text{Н}$. Сила натяжения нити рассчитывается по правилу моментов сил, записанного относительно точки опоры линейки: $T_x = mg(x_0 - x)$, где х — расстояние от точки опоры до точки подвеса шарика, $x_0$ — расстояние от точки подвеса шарика до центра масс линейки.

Запишем условия равновесия для шарика: $T + F_{\text{арх}} = m_{\text{ш}} g$.

В нашем эксперименте $H_0 = 260$ мм, $h_0 = 70$ мм, $L = 247$ мм, масса линейки $m = 22{,}62$ г. Результаты измерений приведены в таблице.

Построим график зависимости силы натяжения нити от глубины погружения шарика Т($l$) (рис. 19).

Из графика видно, что при погружении шарика примерно наполовину, зависимость становится линейной. Это объясняется тем, что форму центральной части шарика можно приближенно считать цилиндрической. Для определения площади поперечного сечения измерим длину окружности шарика $L$, прокатив его по линейке: $S = \dfrac{L^2}{4\pi}$.

Для линейного участка графика сила Т пропорциональна глубине погружения шарика. По угловому коэффициенту (который равен $\rho_{\text{ж}} g S = 31{,}5$ Н/м, где $S$ — площадь поперечного сечения шарика в экваториальной плоскости) определяем плотность жидкости 1,17 г/см$^3$.

Оценим погрешность эксперимента.

Глубину погружения шарика мы вычисляем по 2-м расстояниям, каждое из которых измерено с погрешностью 0,5 мм (конец линейки точно прикладывается к поверхности стола и уровню воды), значит, $\Delta l = 1$ мм. Сила натяжения вычисляется по формуле $T = \dfrac{mgl_1}{l_2}$, значит,

На графике нарисуем кресты ошибок и построим прямые с наибольшим и наименьшим углами наклона. Погрешность определения углового коэффициента равна полуразности максимального и минимального коэффициентов, или $\varepsilon_k = 0{,}06$. Тогда $\varepsilon_\rho = \varepsilon_k + \varepsilon_S = 0{,}08$ и, окончательно,

Таблица 4