Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. Déjà vu

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

L Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

Сочи, 2016 г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Муравьёв В.	1. Бычков А.	1. Мейлихов Е., Гуденко А.
2. Замятнин М.	2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.
3. Гордеев З.	3. Шеронов А.	3. Аполонский А.
4. Бычков А., Замятнин М.	4. Аполонский А.	4. Замятнин М.
5. Замятнин М.	5. Шеронов А.	5. Варламов С.

Условие

В электрической цепи (рис. 10) все элементы можно считать идеальными. Вначале конденсатор ёмкостью $C$ не заряжен. Ключ $K$ замыкают, а затем, когда скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума — размыкают.

Схема: источник ЭДС ℰ последовательно с резистором R1 и ключом K; за ключом параллельно подключены резистор R2 и конденсатор C. — Рис. 10

1. Найдите мощность $N$ , которую развил источник постоянного напряжения к моменту размыкания ключа.

2. Пусть сопротивления резисторов равны $R_1 = R_2 = R$ . В этом случае скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума через время $t_0 = CR\ln\sqrt{2}$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$ , которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$ .

Отговори

Решение

Пусть $I_C$ — сила тока, идущего на зарядку конденсатора, а $I_R$ — сила тока, протекающего через резистор $R_2$ , включённый параллельно конденсатору, $I$ — ток через источник, $q_R$ — заряд, протекший через резистор $R_2$ , а $q_C$ — заряд конденсатора, $q$ — заряд, протекший через источник, $U$ — напряжение на конденсаторе и резисторе $R_2$ . Тогда

U = \frac{q}{C} = I_RR_2 = \mathscr{E} - IR_1,

откуда находим

I = \frac{\mathscr{E} - U}{R_1}, \qquad I_R = \frac{U}{R_2}, \qquad I_C = I - I_R = \frac{\mathscr{E}}{R_1} - U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).

Зависимость скорости изменения энергии конденсатора от напряжения на нём является квадратным трёхчленом

P = U\cdot I_C = U\left[\frac{\mathscr{E}}{R_1} - U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)\right],

максимум которого находится посередине между его корнями

U_m = \frac{\mathscr{E}}{2}\frac{R_2}{R_1 + R_2}, \qquad I_m = \frac{\mathscr{E}}{2R_1}.

Ток через источник в этот момент

I = I_R + I_C = \frac{U_m}{R_2} + I_m = \frac{\mathscr{E}}{2R_1}\frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2},

а искомая мощность источника равна

N = \mathscr{E}I = \frac{\mathscr{E}^2}{2R_1}\frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2}.

Запишем второе правило Кирхгофа для контура с резисторами ( $R_1 = R_2 = R$ )

\mathscr{E} = IR_1 + I_RR_2 = (I + I_R)R,

домножим это уравнение на $\Delta t$

\mathscr{E}\Delta t = (I\Delta t + I_R\Delta t)R = (\Delta q + \Delta q_R)R

и просуммируем по времени от 0 до $t_0$ :

\mathscr{E}t_0 = (q + q_R)R = (2q - q_C)R. \qquad (q_R = q - q_C)

Отсюда с учётом

q_C = CU_m = \frac{C\mathscr{E}}{2}\frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{C\mathscr{E}}{4}

находим $q$

q = C\mathscr{E}\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\ln 2\right).

Из закона сохранения энергии найдем количество теплоты $Q$ , выделившееся в цепи при замкнутом ключе К:

Q = \mathscr{E}q - \frac{q_C^2}{2C} = \frac{C\mathscr{E}^2}{4}\left(\frac{3}{8} + \ln 2\right) = 0{,}27C\mathscr{E}^2.

Оригинал в Архива: finalT16.pdf