Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. Круговой процесс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

L Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

Сочи, 2016 г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Муравьёв В.	1. Бычков А.	1. Мейлихов Е., Гуденко А.
2. Замятнин М.	2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.
3. Гордеев З.	3. Шеронов А.	3. Аполонский А.
4. Бычков А., Замятнин М.	4. Аполонский А.	4. Замятнин М.
5. Замятнин М.	5. Шеронов А.	5. Варламов С.

Условие

Над молем идеального многоатомного газа проводят круговой процесс, который, будучи изображённым на $p,V$ -диаграмме, при некотором масштабе имеет вид окружности. Центр окружности имеет координаты $(p_0,V_0)$ , диаметр вдоль оси давлений равен $2\Delta p$ , а диаметр вдоль оси объёмов $2\Delta V$ .

pV-диаграмма: окружность с центром (V0, p0), пунктирами отмечены уровни p0 − Δp, p0, p0 + Δp и V0 − ΔV, V0, V0 + ΔV; квадранты окружности подписаны I (правый верхний), II (левый верхний), III (левый нижний), IV (правый нижний). — Рис. 12

1. Найдите все пары диаметрально противоположных точек окружности, в которых теплоёмкости одинаковы. Вычислите эти теплоёмкости.

2. Сравните теплоёмкости двух произвольных диаметрально противоположных точек, лежащих во 2 и 4 квадрантах окружности (рис. 12), другими словами, определите, в какой из этих точек теплоёмкость больше и почему.

Примечание. Считайте, что теплоёмкость газа при постоянном объёме не зависит от $T$ .

Отговори

Решение

Рассмотрим моль идеального газа. По определению его теплоёмкость:

C = \frac{\delta Q}{dT} = \frac{dU + pdV}{dT}. \qquad (1)

Для идеального газа:

dU = C_VdT \qquad RdT = pdV + Vdp

Выразим теплоёмкость:

C = C_V + R\frac{pdV}{pdV + Vdp} = C_V + \frac{R}{1 + \dfrac{V}{p}\dfrac{dp}{dV}}

В любых диаметрально противоположных точках $A$ и $B$ касательная к окружности имеет один и тот же наклон:

\left(\frac{dp}{dV}\right)_A = \left(\frac{dp}{dV}\right)_B \qquad (2)

Значит, теплоёмкости могут быть равны либо когда $dp/dV$ обращается в ноль, либо бесконечность, чему соответствует $C = C_p$ и $C = C_V$ соответственно, либо когда:

V_A/p_A = V_B/p_B,

то есть когда точки $A$ , $B$ и центр окружности лежат на одной прямой, идущей из начала координат. Значит,

V_A/p_A = V_0/p_0.

Процесс в безразмерных осях V/ΔV и p/Δp: окружность радиуса 1 с центром (V0/ΔV, p0/Δp), отмечены уровни p0/Δp ± 1 и V0/ΔV ± 1; прямая из начала координат через центр пересекает окружность в точках A и B; в точке B проведена касательная, перпендикулярная прямой. — Рис. 25

Перерисуем процесс в безразмерных осях координат (рис. 25). Проведём прямую через точки $A$ и $B$ . Построим касательную к графику в точке $B$ . Она будет перпендикулярна прямой $AB$ . Таким образом, если угловой коэффициент прямой $AB$ равен $k$ , то угловой коэффициент касательной будет равен $k' = -1/k$ , следовательно:

\frac{dp/\Delta p}{dV/\Delta V} = -\frac{V_0/\Delta V}{p_0/\Delta p}, \qquad \text{откуда} \qquad \frac{dp}{dV} = -\frac{V_0}{p_0}\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)^2.

Теплоёмкость $C$ равна:

C = C_V + \frac{R}{1 - \left(\frac{V_0}{p_0}\right)^2\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)^2}.

Если $p_0/V_0 = \Delta p/\Delta V$ , то $c = \pm\infty$ — точки касания принадлежат изотермам.

Сравним теплоёмкость в точках $C$ и $D$ , лежащих во 2 и 4 квадрантах соответственно. Поскольку

\left(\frac{dp}{dV}\right)_C = \left(\frac{dp}{dV}\right)_D > 0,

то теплоёмкость больше там, где отношение $V/p$ меньше:

V_C/p_C < V_D/p_D

Получается, в нашем случае $C_C > C_D$ .

Оригинал в Архива: finalT16.pdf