Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. Солнечный парус

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

L Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

Сочи, 2016 г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Муравьёв В.	1. Бычков А.	1. Мейлихов Е., Гуденко А.
2. Замятнин М.	2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.
3. Гордеев З.	3. Шеронов А.	3. Аполонский А.
4. Бычков А., Замятнин М.	4. Аполонский А.	4. Замятнин М.
5. Замятнин М.	5. Шеронов А.	5. Варламов С.

Условие

Солнечный парус представляет собой плоское зеркало массой $m = 1{,}660$ г площадью $S = 1{,}000$ м $^2$ Парус ориентирован перпендикулярно солнечным лучам и движется вдоль линии, проходящей через центр Солнца и центр зеркала. В начальный момент времени оно находится на расстоянии $R_0 = 1$ а. е. от Солнца. На каком расстоянии $R_1$ от Солнца будет парус через $t_1 = 1$ час полёта, если он двигался с постоянной, но неизвестной скоростью $v \ll c$ ?

Одна астрономическая единица равна расстоянию от Земли до Солнца $R_0 = 150{,}0\cdot 10^6$ км $= 1$ а. е. Импульс фотона $p$ и его энергия $E$ связаны соотношением $pc = E$ , где $c = 2{,}998\cdot 10^8$ м/с — скорость света. Поток испускаемых протонов, нейтронов и других частиц, исходящих от Солнца, не учитывать. Солнечная постоянная $W_0 = 1{,}367$ кВт/м $^2$ — суммарный поток солнечного излучения, проходящий за единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку, на расстоянии 1 а. е. от Солнца.

Примечание. Знаете ли вы, что продолжительность года равна $\pi\cdot 10^7$ с с точностью полпроцента?

Отговори

Решение

Рассмотрим процесс отражения фотона от зеркала паруса. Пусть скорость зеркала $v$ , импульс фотона до столкновения равен $p_1$ , а после столкновения $p_2$ . Пусть изменение скорости зеркала в результате такого столкновения равно $\Delta v \ll v$ . Запишем, законы сохранения импульса и энергии для системы зеркало-фотон:

p_1 + mv = -p_2 + m(v + \Delta v), \qquad (1)

p_1c + \frac{mv^2}{2} = p_2c + \frac{m(v + \Delta v)^2}{2}. \qquad (2)

Преобразуя уравнения и учитывая $\Delta v \ll v$ , получим:

p_1 + p_2 = m\Delta v, \qquad (3)

(p_1 - p_2)c = mv\Delta v, \qquad (4)

откуда выразим изменение импульса зеркала в результате одного столкновения

\Delta p = m\Delta v = p_1 + p_2 = 2p_1\frac{c}{c + v}.

Пусть за единицу времени произойдёт $n$ столкновений, а энергия одного фотона, летящего в сторону зеркала, равна $E_1$ . Тогда $WS = nE_1$ . Величина энергии, излучаемой Солнцем является постоянной в пределах заданного телесного угла. Площадь сечения площадки, опирающейся на телесный угол с радиусом, много меньшим расстояния до Солнца, прямо пропорциональна квадрату расстояния до Солнца, значит $W \propto 1/R^2$ , то есть $W = W_0R_0^2/R^2$ . Импульс, переданный за время $\Delta t$ , равен $n\Delta t\Delta p$ . Сила светового давления на зеркало:

F_W = \frac{\Delta pn\Delta t}{\Delta t} = \frac{W_0S}{E_1}\frac{R_0^2}{R^2}\frac{2cp_1}{c + v} = \frac{2W_0S}{c + v}\frac{R_0^2}{R^2}

и направлена от Солнца.

Сила гравитационного притяжения

F_G = G\frac{Mm}{R^2} = \frac{4\pi^2R_0^3}{T^2}\frac{m}{R^2},

где $T$ — период обращения Земли вокруг Солнца. Для движения тела с постоянной скоростью сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю. Заметим, что $F_G$ и $F_W$ пропорциональны $1/R^2$ , значит, движение с постоянной скоростью возможно при любом расстоянии до Солнца. Найдём скорость $v$ из равенства сил $F_G$ и $F_W$ :

\frac{4\pi^2R_0^3}{T^2}\frac{m}{R^2} = \frac{2W_0S}{c + v}\frac{R_0^2}{R^2}, \qquad \text{откуда} \qquad v = \left(\frac{W_0ST^2}{2\pi^2R_0mc} - 1\right)c = -2{,}5\cdot 10^7\ \text{м/с},

то есть скорость зеркала направлена к Солнцу. Через один час полёта расстояние от тела до Солнца будет составлять $R_1 = R_0 - |v|t = 6{,}78\cdot 10^{10}$ м $= 0{,}45$ а.е.

Оригинал в Архива: finalT16.pdf