Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. МГД-насос

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

L Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

Сочи, 2016 г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Муравьёв В.	1. Бычков А.	1. Мейлихов Е., Гуденко А.
2. Замятнин М.	2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.
3. Гордеев З.	3. Шеронов А.	3. Аполонский А.
4. Бычков А., Замятнин М.	4. Аполонский А.	4. Замятнин М.
5. Замятнин М.	5. Шеронов А.	5. Варламов С.

Условие

Магнитогидродинамический (МГД) насос представляет собой плоский конденсатор с размерами пластин $h \times a$ и расстоянием между ними $b$ ( $h \gg b$ , $a \gg b$ ). С боковых торцов конденсатор ограничен непроводящими стенками. К пластинам конденсатора подключен идеальный источник с напряжением $U$ (полярность указана на рисунке 14). Между пластинами конденсатора создано однородное магнитное поле с индукцией $B$ , вектор которой горизонтален и параллелен проводящим пластинам. Нижними краями конденсатор касается поверхности слабопроводящей жидкости с плотностью $\rho_0$ и удельным сопротивлением $\lambda$ . Сверху к конденсатору герметично присоединён непроводящий кожух. Посередине конденсатора на высоте $h/2$ на тонкой нити подвешен небольшой непроводящий шарик, имеющий объём $V$ и плотность $\rho > \rho_0$ . Определите зависимость силы $T(U)$ натяжения нити от напряжения на источнике. Постройте качественный график этой зависимости, указав на нём характерные точки. Сверху кожух и поверхность проводящей жидкости сообщаются с атмосферой.

Вертикальный плоский конденсатор с зазором b и высотой пластин h, нижними краями касается жидкости; сверху расширяющийся кожух, от его верха на нити свисает шарик на высоте h/2; между пластинами магнитное поле B (точки — к наблюдателю); источник с полюсами − U + подключён к пластинам; слева стрелка g вниз. — Рис. 14

Отговори

Решение

Рассмотрим маленький шарик жидкости объёма $V$ , который попадает в пространство между проводящими пластинами, и силы, которые на него действуют.

Сила тяжести:

F_{\text{т}} = \rho_0gV.

В силу того, что плотность тока одинакова в любой точке жидкости между проводящими пластинами (маленький шарик не влияет на распределение тока), на любой элемент жидкости одинакового объёма внутри действует одинаковая сила, тогда на шарик объёма $V$ действует сила:

F_{\text{амп}} = \frac{BIb}{abh}\cdot V = \frac{BI}{ah}\cdot V,

где $I = \dfrac{Uah}{\lambda b}$ . Для того, чтобы жидкость поднялась вверх:

F_{\text{амп}} > F_{\text{т}} \qquad \text{откуда} \qquad \frac{BU}{\lambda b} > \rho_0g \qquad \text{и} \qquad U > U_{\text{кр}} = \frac{\rho_0g\lambda b}{B}.

При $U > U_{\text{кр}}$ на маленький шарик жидкости между пластинами со стороны остальной жидкости действует сила Архимеда $F_{\text{арх}}$ , направленная вниз. Поскольку шарик находится в равновесии, то

F_{\text{арх}} = F_{\text{амп}} - F_{\text{т}} = \left(-\rho_0g + \frac{BU}{\lambda b}\right)\cdot V.

График T(U): горизонтальный участок на уровне ρgV до U кр, далее прямая растёт; пунктирное продолжение наклонной прямой пересекает ось T в точке (ρ − ρ0)gV. — Рис. 26

На непроводящий шарик действует такая же по величине сила Архимеда со стороны жидкости, а также сила натяжения нити $T(U)$ и сила тяжести. Тогда в равновесии:

T(U) = F_{\text{арх}} + \rho gV

Отсюда получаем искомую силу натяжения нити при $U > U_{\text{кр}}$ :

T(U) = \rho gV - \left(\rho_0g - \frac{BU}{\lambda b}\right)V = (\rho - \rho_0)gV + \frac{BU}{\lambda b}V.

Окончательный вид зависимости:

T(U) = \begin{cases} \rho gV & \text{при } U \leqslant \rho_0g\lambda b/B, \\ (\rho - \rho_0)gV + \dfrac{BV}{\lambda b}U & \text{при } U > \rho_0g\lambda b/B. \end{cases}

Примерный график этой зависимости приведён на рис. 26.

Оригинал в Архива: finalT16.pdf