ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Неожиданный поворот

• $u = v - \frac{2F\tau}{m\pi}\ \text{или}\ u = v + \frac{2F\tau}{m\pi}$

  Первый ответ — если сила вначале направлена вправо (при v > 2Fτ/(mπ) направление u совпадает с v, иначе противоположно); второй — если сила вначале направлена влево (u сонаправлена с v).

Пусть, для определённости, вектор силы в начальный момент направлен вправо.

Рассмотрим изменение скорости частицы за малые интервалы времени $\Delta t$. Для этого удобно воспользоваться геометрической интерпретацией векторного уравнения для изменения импульса $m(\vec{u} - \vec{v}) = \sum \vec{F}_i\Delta t$, где $\vec{F}_i$ — вектор силы $F$ в произвольный момент времени.

Из рисунка видно, что суммарное изменение импульса частицы $\Delta\vec{p}$ направлено против её начальной скорости (изменения импульса в направлении перпендикулярном начальной скорости компенсируются за время поворота силы на $180^{\circ}$).

Длина половины дуги окружности, образованной модулями изменения импульса точки, равна $\sum F\Delta t = F\sum \Delta t = F\tau$, где $\tau$ — время поворота вектора силы. Через длину дуги можно найти диаметр окружности $\Delta p = \dfrac{2F\tau}{\pi}$. Откуда $u = v - \dfrac{2F\tau}{m\pi}$.

Направление $u$ совпадает с $v$ при $v > \dfrac{2F\tau}{m\pi}$, в ином случае направление становится противоположным.

Заметим, что условию не противоречит и второй возможный вариант, в котором вектор силы изначально направлен влево. Тогда изменение скорости совпадает с направлением $v$ и $u = v + \dfrac{2F\tau}{m\pi}$. В этом случае $u$ всегда сонаправлена с $v$.