ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. Перемещение скамейки

• $A = \mu mg\left[\frac{\mu^2h^2L}{L^2 - \mu^2h^2} + S\right],\quad L > 2\mu h$

Найдём силу необходимую для поддержания равномерного движения скамейки с заехавшей на шероховатую область передней опорой. Для этого запишем правило моментов относительно точки $O$ из сопутствующей ИСО, в которой скамейка покоится: $\mu N_1h + mg\dfrac{L}{2} = N_1L$, здесь учтено, что $F_1 = \mu N_1$. Откуда $F_1 = \dfrac{\mu mgL}{2(L - \mu h)}$.

В случае, когда на шероховатую область заехали обе опоры, необходимо прикладывать силу $F_2 = \mu mg$. При движении по шероховатой поверхности только задней опоры, по аналогии с первым случаем, определяется сила $F_3 = \dfrac{\mu mgL}{2(L + \mu h)}$. Полную работу по перемещению скамейки можно представить в виде суммы работ на трёх участках:

Важно учесть ОДЗ для полученного ответа. На первый взгляд необходимо выполнение условия $L > \mu h$, но это не так. Существует более жёсткое и неявное ограничение. Наш ответ был получен в предположении сохранения контакта с поверхностью обеими опорами. Найдём, при каком соотношении величин начнётся опрокидывание скамейки относительно передней ножки. На грани опрокидывания сила $N_2$ исчезнет, а $N_1$ станет равна $mg$. Тогда из правила моментов относительно точки $A$ получим: $\mu hN_1 = \dfrac{L}{2}N_1$, то есть сохранение контакта возможно лишь при $L > 2\mu h$.