Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Кофе с молоком

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

L Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

Сочи, 2016 г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Муравьёв В.	1. Бычков А.	1. Мейлихов Е., Гуденко А.
2. Замятнин М.	2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.
3. Гордеев З.	3. Шеронов А.	3. Аполонский А.
4. Бычков А., Замятнин М.	4. Аполонский А.	4. Замятнин М.
5. Замятнин М.	5. Шеронов А.	5. Варламов С.

Условие

Теплообменник состоит из двух тонких коаксиальных труб и имеет длину $L = 5$ м. По внутренней трубе течёт кофе, а по внешней во встречном направлении — молоко (рис. 4). Молоко поступает в теплообменник при температуре $t_1 = 10\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ , а кофе — с противоположной стороны при температуре $t_2 = 90\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ . Если в единицу времени по трубам теплообменника в каждую сторону протекает одинаковая масса жидкостей $\mu$ , то к выходу из него молоко успевает нагреться до температуры $t_3 = 60\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Две коаксиальные трубы в перспективе; стрелка «молоко» входит во внешнюю трубу, стрелка «кофе» выходит из внутренней трубы в противоположном направлении. — Рис. 4

1. Определите температуру $t_4$ кофе на выходе из теплообменника.

2. На каком расстоянии $s$ друг от друга находятся участки труб, в которых температуры кофе и молока одинаковы?

3. Какими станут температуры молока $t_3'$ и кофе $t_4'$ , вытекающих из теплообменника, если увеличить скорость обоих потоков в два раза, сохранив их температуры на входе?

Указание: Мощность теплопередачи через небольшую площадку внутренней трубы пропорциональна разности температур контактирующих с ней жидкостей. Теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Плотности и удельные теплоёмкости кофе и молока считать одинаковыми.

Отговори

Решение

В установившемся режиме температура вдоль трубы меняется линейно. Это можно показать, рассмотрев изменение температуры на небольшом смещении вдоль трубы. Из уравнения теплового баланса следует, что изменения температур жидкостей одинаковы (здесь учтено, что за одинаковое время обмениваются теплом одинаковые массы жидкостей). Другими словами, если в некоторой месте теплообменника температуры кофе и молока равны $t_{\text{к}}$ и $t_{\text{м}}$ соответственно, то на небольшом расстоянии $\Delta x$ они станут равны $t_{\text{к}} + \Delta t$ и $t_{\text{м}} + \Delta t$ , при этом сохранится разность температур и мощность теплообмена. Пошагово можно повторять эту процедуру до другого края теплообменника. Распределение температур вдоль труб приведено на графике (рис. 21):

\Delta t_1 = t_3 - t_1 = 50\ {}^{\circ}\mathrm{C}.

Так как изменения температур равны, то температура кофе на выходе

t_4 = t_2 - \Delta t_1 = 40\ {}^{\circ}\mathrm{C}.

Расстояние $s$ между участками труб с одинаковыми температурами можно найти из подобия треугольников:

\frac{s}{L} = \frac{t_2 - \Delta t_1 - t_1}{\Delta t_1}, \qquad \text{откуда} \qquad s = 3\ \text{м}.

Свяжем мощности переданного и полученного тепла:

\mu c\Delta t_1 = \alpha(t_2 - \Delta t_1 - t_1),

где $\alpha$ — некоторая константа, связанная с теплопроводящими свойствами внутренней трубы и жидкостей. После изменения расхода жидкостей до $\mu' = 2\mu$ уравнение связи примет вид

2\mu c\Delta t_1' = \alpha(t_2 - \Delta t_1' - t_1).

График температуры t от координаты x от 0 до L: две параллельные наклонные прямые; на оси t отмечены t1, t2 − Δt1, t1 + Δt1, t2; красный горизонтальный отрезок S между прямыми на уровне t2 − Δt1. — Рис. 21

Здесь учтено, что мощность изменится из-за уменьшения разности температур. Решая систему уравнений относительно нового изменения температур $\Delta t_1'$ , получим $\Delta t_1' = 36{,}4\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ . Откуда температура на выходе у молока $t_3' = 46{,}4\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ , у кофе $t_4' = 53{,}6\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Оригинал в Архива: finalT16.pdf