Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 23. Толстая линза

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года · 17 януари 2017 г.

7 класс

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года

7 класс

9 класс

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 17 января 2017 г.

9 класс

Условие

Вся поверхность плоского экрана, представляющего собой матовое стекло, освещается параллельным пучком лучей, направленным перпендикулярно экрану. Толстую линзу в виде половинки стеклянного шара расположили перед экраном так, что плоская поверхность линзы параллельна плоскости экрана (рис. 1). Показатель преломления стекла линзы $n = 2{,}0$ . Диаметр линзы, меньше размеров экрана.

Слева параллельные горизонтальные лучи со стрелками падают на полушарие (плоская сторона слева, выпуклая — вправо); справа вертикальный экран со штриховкой. — Рис. 1

1) Определите расстояние $L_1$ от плоской поверхности линзы до экрана, если на экране наблюдается картина (рис. 2). Здесь пунктирные линии касаются внешней границы области с переменной освещённостью.

2) Определите расстояние $L_2$ от плоской поверхности линзы до экрана, если на экране наблюдается картина (рис. 3).

Серый квадрат экрана с масштабными линейками в сантиметрах (0–4 см) снизу и справа; в центре тёмный круг, окружённый светлым кольцом; две вертикальные пунктирные линии касаются внешней границы светлого кольца. — Рис. 2

Серый квадрат экрана с масштабными линейками в сантиметрах (0–4 см) снизу и справа; в центре круг с плавным переходом яркости, светлый в центре и темнеющий к краю. — Рис. 3

Отговори

Решение

Возможное решение (Варламов С., Карманов М.). Рассмотрим ход лучей в линзе. Плоскую границу линзы все лучи проходят без преломления. А вот из сферической поверхности выходят не все лучи. Часть из них испытывает полное отражение. Найдем предельный угол падения, при котором лучи перестают выходить за сферическую поверхность: $n\sin\alpha_{\text{пр}} = 1{,}0$ . Отсюда $\alpha_{\text{пр}} = 30^{\circ}$ .

Ход лучей через полушарие: параллельные горизонтальные лучи входят в плоскую грань, часть лучей преломляется на сферической поверхности и пересекается перед экраном, часть испытывает полное отражение (пунктир внутри линзы); на экране справа отмечены точки P, L, M, Q. — Рис. 4

Построим ход некоторых лучей. Из данной картинки (рис. 4) понятно, почему в первом случае мы наблюдаем на экране кольцо более яркое, чем вся поверхность экрана. Это кольцо создается как лучами, прошедшими мимо линзы, так и некоторыми лучами, прошедшими сквозь неё. При этом внешняя граница яркого кольца определяется как раз лучом, падающим на сферическую поверхность под предельным углом в $30^{\circ}$ .

Диаметр же темного центрального пятна равен диаметру линзы. Определим с помощью масштабной линейки внешний диаметр кольца $D = 2{,}90$ см и диаметр внутреннего темного круга $d = 2{,}10$ см.

Полушарие с центром O и предельный луч: горизонтальный луч попадает в точку A сферической поверхности, OA — пунктирный радиус с отмеченным углом; преломлённый луч идёт к экрану в точку D. На экране справа точки B, C, D, E; горизонтальные пунктирные линии AB и OC; нижний луч идёт мимо линзы к точке E. — Рис. 5

Рассмотрим предельный луч.

Отмеченный угол равен $30^{\circ}$ , $CD = \dfrac{d}{2} = R = 1{,}05\ \text{см}$ (рис. 5).

CE = \frac{D}{2} = 1{,}45\ \text{см}.

Пусть $L$ – искомое расстояние, тогда $AB = L - R\cos\alpha_{\text{пр}}$ .

BE = \frac{D}{2} + R\sin\alpha_{\text{пр}}.

\frac{AB}{BE} = \operatorname{tg}\alpha_{\text{пр}}.

В результате преобразований получим

L_1 = \frac{\frac{D}{2}\sin\alpha_{\text{пр}} + R}{\cos\alpha_{\text{пр}}} = 2{,}05\ \text{см}.

Во втором случае точки $D$ и $E$ должны совпасть. Тогда $D = d = 1{,}05$ см.

L_2 = R\frac{\sin\alpha_{\text{пр}} + 1}{\cos\alpha_{\text{пр}}} = 1{,}82\ \text{см}.

Критерии оценивания

Понимание наличия полного внутреннего отражения для части лучей 1 балл
Определен предельный угол в 30 градусов 1 балл
Рисунок с ходом лучей, поясняющий образование на экране первой картинки. 2 балла
Показано, что диаметр темного пятна равен диаметру полушара. 1 балл
Записаны геометрические связи, позволяющие получить ответ. 1 балл
Получена формула для L в первом случае 1 балл
Верный численный ответ в первом случае 1 балл
Верный переход ко второму случаю 1 балл
Верный численный ответ во втором случае 1 балл

Онлайн-разбор решений

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region17T.pdf