ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 22. Долго ли умеючи?

• $2 \times 10^{6}$ с

  В официальном решении: $\tau = T/4 \approx 2{,}0\cdot10^6$ с $\approx 24$ суток.

Решение (Плис В.). В процессе колебаний центр масс системы тел будет оставаться неподвижным. Начало лабораторной системы отсчета $OX$ поместим в центр масс. Подвижную систему отсчета $OX_1$ свяжем со спицей. В ЛСО ускорение бусинки при малом ее смещении $x_1$ относительно спицы определяется силой притяжения концевого отрезка спицы длиной $2x_1$ и расположенного на расстоянии $\approx L/2$ от бусинки:

Ускорение стержня при этом смещении бусинки

Тогда ускорение $a_m$ бусинки относительно стержня будет равно

Получено уравнение гармонических колебаний бусинки относительно спицы. Период этих колебаний

Искомое время равно четверти периода гармонических колебаний

Решение (Гуденко А.). Известно, что период колебаний двух грузов $m$ и $M$, связанной пружинкой с жёсткостью $k$, определяется точно также, как для одного грузика на пружинке, но только вместо массы груза нужно взять приведённую массу $\mu = \dfrac{mM}{m + M}$ (это выражение можно получить из уравнений движения).

Период колебаний груза на пружине равен

В нашем случае «коэффициент жёсткости» $k = \dfrac{8GmM}{L^3}$.

Тогда период колебаний

Критерии оценивания

1. Отмечено, что при смещении бусинки на $x_1$ сила притяжения определяется взаимодействием бусинки и части спицы длиной $2x_1$ 1 балл
2. Применён вторые законы Ньютона (по 2 балла за каждый из случаев (для бусинки и для стержня) 4 балла
3. Получено ускорение бусинки относительно стержня 1 балл
4. Получено выражение для периода колебаний 2 балл
5. Получен численный ответ 2 балла