ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 21. Зарядка-разрядка

• $W_1 = \frac{15}{32}C\mathcal{E}^2;\quad W_2 = \frac{7}{32}C\mathcal{E}^2$

  Задача имеет два решения (по официальному решению).

Возможное решение (Шеронов А.). Скорость изменения энергии конденсатора:

Здесь $I$ – сила тока в цепи, $q$ – заряд на конденсаторе.

Запишем закон Ома для цепи:

Работа батареи идёт на зарядку конденсатора и на тепловые потери на резисторе:

Максимум мощности достигается при силе тока $I = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}$.

Из уравнения (2) найдём заряд на емкости:

Из (1) найдём максимальную скорость изменения энергии:

По условию в момент размыкания ключа $P = \dfrac{3}{16}\dfrac{\mathcal{E}^2}{R}$. (5)

Подставляя это выражение в уравнение (3) получим:

Решая это квадратное уравнение найдём:

Из уравнения (2) найдём соответствующие заряды:

Джоулево тепло, выделившееся на резисторе равно:

Соответственно,

Таким образом, задача имеет два решения:

Критерии оценивания

1. Получена скорость изменения энергии конденсатора (1) 1 балл
2. Записан закон Ома для цепи (2) 1 балл
3. Найдена максимальная скорость изменения энергии конденсатора (4) 1 балл
4. Найдена мощность в момент размыкания ключа (5) 1 балл
5. Получено квадратное уравнение для соответствующей силы тока 2 балла
6. Найдены заряды на конденсаторе, при которых в цепи выделяется соответствующая теплота (по 1 баллу за каждый случай) 2 балла
7. Найдено соответствующее количество теплоты (по 1 баллу за каждый случай) 2 балла