Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. 11 класс · Задание 1 · Физика желеобразных веществ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Экспериментальный тур

Обложка

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Экспериментальный тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Примечание. Чтобы плавно регулировать напряжение на источнике, поверните ручку пределов напряжения в крайнее правое положение (0-15 V). Остальные положения ручки задают фиксированное значение напряжения.

Примечание. Проверьте, что перед включением два левых тумблера повёрнуты до конца по часовой стрелке, а два правых тумблера — против часовой стрелки. Для изменения напряжения пользуйтесь двумя правыми тумблерами: «COARSE» для грубого изменения и «FINE» для плавного.

В данной работе предлагается исследовать механические свойства желеобразных веществ, к которым относятся желе, гели, студни.

Встречаются и животные с желеобразными телами, например, медуза Аурелия ушастая (Moon Jelly) с прозрачным студенистым телом.

Желеобразные вещества занимают промежуточное положение между жидкими и твёрдыми веществами. Они характеризуются отсутствием текучести, способностью сохранять форму, прочностью, упругими свойствами. По многим своим механическим свойствам эти вещества уникальны. В данной работе вам предлагается определить модуль Юнга $E$ и скорость звука $c$ в желатине.

В этой работе вам могут помочь следующие теоретические сведения.

Модуль Юнга характеризует упругие свойства вещества, определяя жёсткость различных конструкций. Например, небольшая относительная деформация $\varepsilon$ цилиндра сечением $S$ и высотой $h$ под действием растягивающей (или сжимающей) силы $F$ равна (по определению модуля Юнга):

\varepsilon=\frac{\Delta h}{h}=\frac{F}{ES}.

Изгиб цилиндра. Пусть цилиндр закреплен в вертикальном положении. Если к верхнему основанию приложить момент сил $M$ , он наклонится на угол $\varphi$ к горизонту. По закону Гука при малых деформациях:

M=\kappa\varphi,

где $\kappa$ — жёсткость цилиндра на изгиб. Она определяется модулем Юнга и геометрическими параметрами цилиндра по формуле:

\kappa=E\frac{\pi R^4}{4h},

где $R$ — радиус цилиндра, а $h$ — его высота.

Кручение цилиндра. Верхнее основание цилиндра относительно нижнего, закреплённого, основания можно повернуть на угол $\varphi$ вокруг оси цилиндра в горизонтальной плоскости. Такая деформация называется кручением. При небольших деформациях по закону Гука момент сил $M$ , необходимый для закручивания цилиндра, также пропорционален углу $\varphi$ :

M=\chi\varphi,

где $\chi\approx E\pi R^4/(6h)$ — крутильная жёсткость желатинового цилиндра.

Крутильные колебания возникают, если прикреплённый к верхнему основанию цилиндра стержень отклонить в горизонтальной плоскости от положения равновесия на некоторый угол и отпустить (нижнее основание цилиндра закреплено). Период гармонических колебаний такого Т-образного крутильного маятника определяется крутильной жёсткостью цилиндра и моментом инерции $I$ маятника относительно оси вращения:

T=2\pi\sqrt{\frac{I}{\chi}}.

Момент инерции крутильного маятника (подобно массе груза для пружинного маятника) определяет его инерционность. Момент инерции зависит от распределения масс относительно оси вращения маятника. Так, момент инерции тонкого однородного стержня длиной $l$ и массой $m_0$ относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, равен:

I_\text{ст}=\frac{m_0l^2}{12}.

Если же на стержень нацепить небольшой грузик массой $m$ на расстоянии $r$ от оси вращения, то момент инерции маятника увеличится на величину момента инерции грузика $\Delta I=I_m=mr^2$ и станет равным:

I=I_\text{ст}+mr^2.

Это связано с тем, что момент инерции — величина аддитивная.

Модуль Юнга входит в формулу для скорости звука в различных материалах. Если, например, по торцу тонкого стержня ударить молотком, то по стержню побежит продольная звуковая волна со скоростью $c=\sqrt{E/\rho}$ . Так, для стали с модулем Юнга $E=2\cdot10^{11}$ Па и плотностью $\rho=7{,}9$ г/см³ эта скорость составляет $c=\sqrt{E/\rho}\approx5$ км/с.

Задание

1.1. Изготовьте из желатинового цилиндра диаметром $D=29$ и длинной деревянной линейки Т-образный маятник (при необходимости, если недостаточно собственной «липкости» желатина, линейку можно подклеить к цилиндру, а сам цилиндр к деревянной подставке с помощью «желатинового» клея). Исследуйте желатиновый цилиндр на изгиб статическим методом. Для этого снимите зависимость $\varphi(M)$ — изменения угла $\varphi$ наклона линейки Т-образного маятника под действием приложенного к линейке момента сил $M$ . Зарисуйте схему установки и опишите методику измерений.

1.2. Результаты измерений п. 1.1 представьте графически.

1.3. По результатам эксперимента п. 1.1 получите значение модуля Юнга $E$ желатина. Оцените погрешность измерений.

2.1. Исследуйте желатиновый цилиндр Т-образного маятника на кручение динамическим методом. Для этого исследуйте зависимость изменения периода $T_\text{крут}$ крутильных колебаний маятника от изменения момента его инерции. Зарисуйте схему установки и опишите методику измерений.

2.2. Результаты измерений п. 2.1 представьте графически.

2.3. По результатам измерений п. 2.1 получите значение модуля Юнга $E$ желатина. Оцените погрешность измерений.

3.1. Исследуя поведение тонких ( $d=19{,}5$ мм) желатиновых цилиндров на вибрирующей подставке, определите скорость продольных звуковых волн $c_\text{э}$ в желатине. Желатиновые цилиндры выдавливаются из шприцов с помощью поршня. Для приготовления цилиндров необходимой длины используйте канцелярский нож. Зарисуйте схему установки и опишите методику измерений.

Внимание: не подавайте на электромоторчик напряжение, превышающее 9,5 В.

Совет: отрезать нужную длину образца лучше по мере выдавливания цилиндра, прижимая нож к торцу шприца.

Подсказка: вибрирующая подставка может быть реализована с помощью линейки с закреплённым на ней электромоторчиком.

3.2. Сравните полученное значение $c_\text{э}$ с теоретическим, рассчитанным по формуле $c_\text{т}=\sqrt{E/\rho}$ , где $E$ — модуль Юнга, определённый статическим или динамическим методом. Плотность желатина $\rho=1{,}05$ г/см³.

4. С помощью пластиковой ложечки съешьте фруктовое желе. Запишите свои впечатления. Зарисовывать схему установки, описывать методику поедания, определять модуль Юнга и делать оценку погрешности в этом пункте не надо. Ашларыгыз тәмле булсын!

Примечание. Этот пункт можно выполнить в любой момент.

Оборудование. Широкий шприц с внутренним диаметром $D=29$ мм, деревянная подставка, 3 маленьких шприца с внутренним диаметром $d=19{,}5$ мм, электромоторчик постоянного тока с эксцентриком, закреплённый на деревянной линейке, регулируемый источник постоянного тока, стробоскопический тахометр, секундомер, деревянная линейка, канцелярский нож, 2 одинаковые большие гайки массой $m_\text{г}=9{,}75$ г каждая, канцелярская клипса, фруктовое желе (яблочное, вишнёвое или клубничное), пластиковая (одноразовая) ложечка. Клей (расплавленный желатин) по требованию.

Решение

Возможное решение Э-11-1

Статический метод

Отрежем цилиндр желатина высотой $h=(35\pm1)$ мм из толстого шприца. С помощью клея закрепим его на подставке, а затем приклеим к нему сверху линейку так, чтобы она лежала горизонтально.

Для вычисления модуля Юнга снимем зависимость $\varphi(M)$ . Угол $\varphi\approx\sin\varphi=\frac yl$ . Для изменения момента силы $M$ будем использовать гайку. Так как угол $\varphi$ наклона линейки мал $\Rightarrow M=mgr\cos\varphi\approx mgr$ . Если гайка начнет сползать, будем закреплять ее желатиновым клеем.

	$r,cm$	$y,cm$	$\Delta y,cm$	$\varphi$
0	0	4,4	0,0	0,000000
1	2	6,8	2,4	0,093841
2	3	8,1	3,7	0,144092
3	4	9,2	4,8	0,186058
4	5	10,3	5,9	0,227372
5	6	11,5	7,1	0,271554
6	7	12,6	8,2	0,311125
7	8	13,7	9,3	0,349715

Построим график полученной зависимости,

График статического изгиба φ(r) со всеми осями, точками и погрешностями. — Рис. 11.8

Угловой коэффициент прямой $s=(4{,}36\pm0{,}03)$ м⁻¹

Вычислим модуль Юнга по формуле $E=\frac{4mgh}{\pi sR^4}$

Подставляя полученные значения, получаем: $E=(22\pm2)$ кПа

Динамический метод

В этой части будем использовать установку из предыдущей части, Теперь положим две гайки на одинаковом расстоянии $r$ от центра,

Аккуратно отклоним линейку на небольшой угол так, чтобы она все время оставалась горизонтальной (иначе могут возникнуть другие моды колебаний), и отпустим, Возникнут крутильные колебания, Будем измерять время $t=10T$ , за которое система совершает 10 колебаний в зависимости от расстояния до гаек $r$ , Повторим измерения для каждого значения $r$ несколько раз,

	$r$ , см	$10T_1$ , с	$10T_2$ , с	$10T_3$ , с	$10T_4$ , с	$10T_5$ , с	$r^2$ , м²	$T^2$ , с²
0	0	6,32	6,34	6,35	6,39	6,34	0,0000	0,402971
1	2	6,41	6,41	6,38	6,38	6,47	0,0004	0,410881
2	4	6,87	6,90	6,94	6,84	6,84	0,0016	0,473069
3	6	7,69	7,72	7,62	7,69	7,69	0,0036	0,590131
4	8	8,59	8,66	8,60	8,63	8,66	0,0064	0,744424
5	10	9,68	9,69	9,63	9,68	9,66	0,0100	0,934702
6	12	10,88	10,99	10,91	10,91	10,88	0,0144	1,191154
7	14	12,12	12,15	12,15	12,10	12,09	0,0196	1,469429
8	16	13,37	13,34	13,41	13,34	13,35	0,0256	1,785430
9	18	14,59	14,60	14,63	14,61	14,62	0,0324	2,134521
10	20	15,93	15,91	15,90	15,91	15,92	0,0400	2,532554

Момент инерции системы равен $I=I_0+2mr^2$ , где $I_0$ - момент инерции линейки, Тогда зависимость квадрата периода колебаний $T^2$ от $r^2$ будет линейной:

T^2=4\pi^2\frac I\chi=\frac{8\pi^2m}{\chi}r^2+\frac{4\pi^2I_0}{\chi}

Построим линеаризованный график $T^2(r^2)$

Линеаризованный график T²(r²) со всеми осями, точками и погрешностями. — Рис. 11.10

Угловой коэффициент прямой $a=\frac{8\pi^2m}{\chi}=(53{,}7\pm0{,}3)$ с²/м², Отсюда, используя выражение для $\chi$ , получаем, что модуль Юнга

E=\frac{6\chi h}{\pi R^4}=\frac{48\pi mh}{aR^4}

Подставляя полученные значения, получаем: $E=(22\pm2)$ кПа

Резонансный метод

В этой части нам потребуются цилиндры разной высоты, которые мы будем нарезать из образцов в тонких шприцах, Соберем следующую установку:

Линейку с моторчиком закрепим на краю стола с помощью клипсы так, чтобы ее конец с двигателем сильно выступал за пределы парты (как минимум, сантиметров на 10), На линейке закрепим несколько желатиновых цилиндров разной высоты, Для каждого цилиндра измерим его резонансную частоту $\nu_{res}$ , Для начала настроим частоту с помощью источника тока так, чтобы амплитуда колебаний выбранного цилиндра высотой $H$ была максимальна, Затем будем светить стробоскопом на вертушку и, изменяя частоту вспышек света, находить положение, когда вертушка останавливается, при этом виден только один винт (если видно несколько винтов, то это кратные частоты), Тогда частота стробоскопа совпадает с частотой колебаний системы,

	$h$ , см	$\nu_{res}$ , об/с	$h^{-1}$ , м⁻¹	$\nu_{res}$ , с⁻¹
0	4,0	1600	25,000000	26,666667
1	3,4	2000	29,411765	33,333333
2	2,8	2500	35,714286	41,666667
3	2,4	2750	41,666667	45,833333
4	2,0	3300	50,000000	55,000000

В цилиндре возбуждается стоячая волна, при этом, так как амплитуда максимальна на конце цилиндра, то там пучность, значит высота цилиндра - это половина длины стоячей волны или четверть длины бегущей волны, то есть $h=\frac\lambda4$ , При этом скорость звука $c=\lambda\nu_{res}\Rightarrow\nu_{res}=\frac c4h^{-1}$ Измерим $\nu_{res}$ для нескольких цилиндров разной высоты, Построим график зависимости $4\nu_{res}(h^{-1})$

График резонансной частоты в зависимости от обратной высоты цилиндра, со всеми осями, точками и погрешностями. — Рис. 11.12

Скорость звука есть угловой коэффициент полученной прямой $c=(4{,}4\pm0{,}3)$ м/с

Посчитаем теоретическое значение $c_{th}=\sqrt{\frac E\rho}=(4{,}6\pm0{,}2)$ м/с

Оригинал в Архива: finalE17.pdf