ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2. 9 класс · Задание 2 · Висячий мост

Возможное решение Э-9-2

Определим расположение выводов $A$, $B$ и $C$. Будем подключать щуп вольтметра к выводам «серого ящика». Тогда вывод, при подключении к которому вольтметр показывает 0, очевидно, соответствует выводу $A$ схемы.

Теперь, замыкая $A$ с одним из двух других выводов, а к третьему подключая вольтметр, получаем два различных значения напряжения. Предполагаем, что сопротивление вольтметра намного больше сопротивлений резисторов (позже это предположение подтвердится). Тогда при подключении вольтметра к выводу $B$ он должен показывать практически $U_0$ ($AC$ закорочен), а при подключении к $C$ – меньшее напряжение. Таким образом, определили положения выводов 1 – $C$, 2 – $A$, 3 – $B$, и $U_0=1{,}636$ В.

Пусть $r$ – сопротивление ветви $BC$. Снимаем нужную нам зависимость, используя разорванный и закороченный участок $BC$, а также соединяя резисторы в различные комбинации. Теоретически она выглядит так (знак зависит от полярности подключения вольтметра):

Полученная в эксперименте зависимость изображена на рис. 9.19.

Далее в формулах все значения показаний вольтметра считаются взятыми по модулю.

Подключая свободный вывод вольтметра к $B$ и $C$, получаем значения $U_B=0{,}982$ В и $U_C=0{,}651$ В, и тогда

Заметим, что разница между $U_B+U_C$ и $U_0$ составляет 3 мВ, что лежит в пределах погрешности вольтметра. Значит, можем считать сопротивление вольтметра много большим сопротивлений резисторов внутри ящика.

Приведем несколько вариантов дальнейшего решения задачи.

Вариант 1 (честный)

Теперь подключаем вольтметр к выводу $C$, соединяя накоротко выводы $A$ и $B$. Подключая резисторы к $BC$, можем изменять $r$ в схеме на рисунке 9.20. Обозначим $R_{12}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$. Если оставить разрыв по линии $BC$, то показания вольтметра $U_{AC}(\infty)=1{,}353$ В будут давать

Пользуясь (9.21), можем найти $\frac{R_2}{R_1}$ из $\alpha=\beta\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{1+\frac{R_2}{R_1}}$. Тогда

Подключив, например, $r=1{,}0$ кОм, получаем $U_{AC}(r)=0{,}834$ В, и тогда $\delta=\frac{U_{AC}(r)}{U_0-U_{AC}(r)}=\frac{R_{3r}}{R_{12}}=1{,}04$, где $R_{3r}=\frac{R_3r}{R_3+r}$. Подставляя $R_{12}$, выраженное через $R_3$ из (9.22), находим из $\delta\frac{R_3}{\beta}=\frac{R_3r}{R_3+r}$ отношение $\frac{R_3}{r}=\frac{\beta}{\delta}-1=3{,}60$ и, соответственно, $R_3=3{,}60$ кОм, а затем и $R_2=1{,}10$ кОм с $R_1=2{,}40$ кОм.

Для увеличения точности повторим последний опыт с другими значениями $r$ и усредним полученные значения $R_1$, $R_2$ и $R_3$.

В итоге получим $R_3=3{,}58$ кОм, $R_2=1{,}09$ кОм, $R_1=2{,}39$ кОм.

Вариант 2 (быстрый)

Определим $R_2$. Для этого подключим вольтметр к точкам $B$ и $C$ параллельно резистору $r$, вставив «крокодил» $C$ в разъем мультиметра. Получаем последовательное соединение $r$ и $R_2$ к источнику, напряжение на $r$ равно $U_{BC}$. Тогда подключая различные $r$ и усредняя, получим

Для определения $R_3$ подключим вольтметр к выводам $V$ и $B$. Так как сопротивление вольтметра намного больше $R_2$, то он будет показывать напряжение на $R_1$ равное $U_1$. Теперь к выводам $A$ и $C$ подключим известное сопротивление $r$. Показания вольтметра станут $U_2$. Тогда $U_1=U_0\frac{R_3}{R_3+R_1}$, $U_2=U_0\frac{R_{3r}}{R_{3r}+R_1}$. После преобразований получим $R_3=r\frac{U_0}{U_2}\frac{U_1-U_2}{U_0-U_2}$.

Пользуясь (9.21), получаем $R_1=\frac{R_3}{\alpha}$. Так же повторим опыт при разных $r$ и усредним результаты, получив $R_3=3{,}56$ кОм и $R_1=2{,}37$ кОм.

Оценка погрешностей дает следующие результаты: $\Delta U_0=3$ мВ, $\Delta R_1=0{,}13$ кОм, $\Delta R_2=0{,}03$ кОм, $\Delta R_3=0{,}16$ кОм.

Примечание: также можно найти значение $R_2$ другим способом – по пересечению графиком $U_{AB}(r)$ оси абсцисс (условие мостика $R_1r=R_2R_3$).