Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-5. 11 класс · Задача 5 · Лунное затмение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Как известно, Солнце не является точечным источником света, а имеет малый угловой диаметр (при наблюдении с Земли) $2\delta=0{,}52^\circ$ . Этот факт приводит к тому, что область полной тени за Землёй оказывается конечной.

Солнце, Земля, Луна, область полной тени и полутени, расстояние L1. — Рис. 11.3

1. Пусть рефракция (явление преломления солнечных лучей в земной атмосфере) отсутствует. На каком расстоянии $L_1$ от Земли ещё будет наблюдаться полная тень? Найдите продолжительность полного лунного затмения в этом случае.

2. В действительности рефракция оказывает существенное влияние на размер области полной тени. Пусть атмосфера Земли имеет приведённую высоту $h=8$ км и средний показатель преломления $n=1{,}00028$ .

Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите на каком максимальном расстоянии $L_2$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена?

Радиус Земли $R=6400$ км, ускорение свободного падения $g=9{,}8$ м/с², угловой диаметр Луны равен угловому диаметру Солнца $2\delta$ , период обращения Луны вокруг Земли $T_0=27{,}3$ сут.

Решение

Возможное решение Т-11-5

В отсутствие рефракции лучи сходятся под тем же углом, под которым Солнце видно с Земли то есть $2\delta$ , поэтому $L_1=R/\delta\approx1{,}4\cdot10^6$ км. Из второго закона Ньютона для движения Луны по орбите радиуса $R_0$ с угловой скоростью $\omega_0$ :

\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}=\sqrt{\frac{GM_\text{З}}{R_0^3}}=\sqrt{\frac{gR^2}{R_0^3}},\qquad\text{откуда}\ R_0=\sqrt[3]{\frac{gT_0^2R^2}{4\pi^2}}\approx384\text{ тыс. км}.

Отсюда находим диаметр Луны $D=2\delta R_0\approx3{,}45\cdot10^3$ км, а также диаметр темного пятна на уровне Луны (Рис. 2):

D_1=2R\left(1-\frac{R_0}{L_1}\right)\approx9{,}3\cdot10^3.

Тогда продолжительность полного лунного затмения:

T=\frac{D_1-D_2}{\omega_0R_0}=T_0\frac{D_1-D_2}{2\pi R_0}\approx1{,}6\text{ ч}

Запишем закон Снелла при преломлении луча на границе с атмосферой:

\sin\left(\frac\pi2-\varphi\right)=n\left(\frac\pi2-\gamma\right).

Учитывая, что $n=1+\Delta n$ , где $\Delta n=2{,}8\cdot10^{-4}\ll1$ , а также используя приближение малых углов, перепишем формулу в виде

1-\frac{\varphi^2}2=(1+\Delta n)\left(1-\frac{\gamma^2}2\right).

Раскроем скобки, пренебрегая слагаемым третьего порядка малости: $(\gamma^2-\varphi^2)/2=\Delta n$ , что можно приближённо записать как $\gamma(\gamma-\varphi)=\Delta n$ , откуда находим угол отклонения луча:

\Delta\varphi=\gamma-\varphi=\frac{\Delta n}\gamma.

Как видно из рис. 11.6, $\cos\gamma=R/(R+h)$ , откуда:

\gamma\approx\sin\gamma=\sqrt{1-\left(\frac R{R+h}\right)^2}\approx\frac{\sqrt{2Rh}}{R+h}\approx\sqrt{\frac{2h}R}.

Луч претерпевает два одинаковых отклонения: при входе в атмосферу и при выходе из неё, поэтому результирующий угол будет равен $2\Delta\varphi$ . Таким образом, в условиях рефракции угол $\psi$ , под которым сходятся солнечные лучи, оказывается равным $\psi=2\delta+4\varphi$ .

Окончательно получим:

L_2=\frac{2R}{2\delta+4\Delta\varphi}=\frac R{\delta+\Delta n\sqrt{2R/h}}\approx408\text{ тыс. км}.

Отсюда находим диаметр тёмного пятна на луне

D_2=2R\left(1-\frac{R_0}{L_2}\right)\approx753\text{ км}

и искомое отношение площадей $\varepsilon=(D_2/D)^2\approx4{,}8\%$ .

Коническая тень Земли без рефракции: 2R, D1, R0, L1, 2δ. — Рис. 11.5

Преломление касательного луча в атмосфере, точки A/B/O, R+h, R, углы φ и γ.

Оригинал в Архива: finalT17.pdf