Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-4. 11 класс · Задача 4 · И снова МГД

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Модель морского магнитогидродинамического двигателя, установленного под днищем катера (рис. 11.2) представляет собой прямоугольный канал ( $a=1{,}0$ м, $l=2$ м, $h=10$ см). К хорошо проводящим плоскостям $hl$ подключен идеальный источник постоянного тока с ЭДС $\mathcal E=100$ В. Магнитное поле $B=1$ Тл пронизывает канал перпендикулярно непроводящим плоскостям $al$ . При движении катера с таким двигателем с постоянной скоростью $u$ скорость вытекающей относительно катера воды $v=10$ м/с.

Удельное сопротивление морской воды $\rho=1{,}0\cdot10^{-2}$ Ом · м, ее плотность $\rho_\text{в}=1000$ кг/м³.

Найдите скорость движения катера, силу тяги, полезную мощность и КПД двигателя.

Прямоугольный канал магнитогидродинамического двигателя, размеры a, l, h и направление v.

Решение

Возможное решение Т-11-4

Возможное решение 1. Энергетический метод. Перейдем в систему отсчета, в которой катер покоится. В этой системе отсчета скорость движения воды, которая находится далеко от катера равна $u$ , а скорость вытекающей из двигателя воды $v$ . Запишем закон сохранения энергии для воды, которая прошла через канал:

\frac{\rho_\text{в}u^2}2+jBl=\frac{\rho_\text{в}v^2}2,\qquad (11.1)

где $j=I/(hl)$ - плотность тока, текущего поперек канала.
В канале возникает ЭДС индукции, направленная против ЭДС источника, поэтому полный поперечный ток равен

I=\frac{\mathcal E-vBa}R=\frac{lh}{\rho a}(\mathcal E-vBa)\qquad (11.2)

Подставляя (2) в (1) получим:

u=\sqrt{v^2-\frac{2Bl}{\rho\rho_\text{в}a}(\mathcal E-vBa)}=8\text{ м/с}.

Сила тяги двигателя равна изменению импульса воды, прошедшей через канал:

T=\frac{\Delta m}{\Delta t}(v-u)=\rho_\text{в}ahv(v-u)=2\text{ кН}.

Полезная мощность:

P_\text{пол}=Tu=16\text{ кВт}.

Коэффициент полезного действия:

\eta=\frac{P_\text{пол}}{\mathcal EI}=\frac{\rho Tua}{lh\mathcal E(\mathcal E-vBa)}\approx9\%.

Возможное решение 2. Динамический метод. В канале возникает ЭДС индукции, направленная против ЭДС источника. Полный поперечный ток равен

I=\frac{\mathcal E-vBa}R=\frac{lh}{\rho a}(\mathcal E-vBa)

Сила тяги равна действующей на этот ток силе Ампера:

T=F_A=IBa=\frac{lhB}{\rho}(\mathcal E-vBa)=1.8\text{ кН}.\qquad (11.3)

С другой стороны, сила тяги двигателя равна изменению импульса воды, прошедшей через канал за единицу времени:

T=\frac{\Delta m}{\Delta t}(v-u)=\rho_\text{в}ahv(v-u).\qquad (11.4)

Приравнивая (1) и (2) получим:

u=v-\frac T{\rho_\text{в}ahv}=\frac{lB}{\rho\rho_\text{в}av}(\mathcal E-vBa)=8{,}2\text{ м/с}.

Полезная мощность:

P_\text{пол}=Tu=14{,}76\text{ кВт}.

Коэффициент полезного действия:

\eta=\frac{P_\text{пол}}{\mathcal EI}=\frac{\rho Tua}{lh\mathcal E(\mathcal E-vBa)}\approx8{,}2\%.

Примечание к динамическому методу. Использованное в этом решении положение $T=F_A$ в действительности равносильно не вполне корректному использованию закона сохранения импульса. В самом деле, если поток воды через канал с расходом $\Delta m/\Delta t=\rho ahv$ на большом расстоянии от катера (в СО, связанной с катером) имеет эффективную площадь сечения $S$ такую, что $u\cdot S=vah$ , т.е. $S=ah\cdot v/u$ . Тогда импульс, проходящий за время $\Delta t$ через $S$ $(\rho uS\Delta t)\cdot u$ , увеличивается за счёт импульса силы Ампера $IBa\Delta t$ , и конечный импульс $\rho ahv\Delta tv=(\rho u\frac vuah\Delta t)u+IBa\Delta t$ , и $v^2=vu+IB/(\rho h)\Rightarrow u=v-IB/(\rho hv)$ , – ровно то же значение, что получено при $T=F_A$ . Но в таком рассуждении не учитывается изменение импульса тех масс воды, которые не проходят через канал, а в них из-за увеличения площади сечения скорость становится меньше $u$ , т.е. часть импульса «теряется» (ясно, что есть градиент давления в потоке и система, к которой мы в альтернативном решении применяем закон сохранения импульса, незамкнута).

Оригинал в Архива: finalT17.pdf