Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-3. 11 класс · Задача 3 · Бусинка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Заряд $Q$ равномерно распределен по поверхности диэлектрической тонкостенной закреплённой трубы радиуса $R$ и длиной $H$ . Бусинка с тем же по знаку зарядом может свободно скользить по тонкой непроводящей спице, совпадающей с диаметром серединного (равноудаленного от торцов) сечения.

Найдите период $T$ малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Удельный заряд бусинки $\gamma=q/m$ считайте известным.

Решение

Возможное решение Т-11-3

Для определения зависимости $E_r(r)$ вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора $\vec E$ через поверхность соосного с заряженным небольшого цилиндра (радиус основания $r$ , высота $2x$ ( $x\ll r\ll R,H$ ) равен нулю. Для начала найдем $E_x(x)$ . Это поле однородно заряженного кольца высотой $2x$ , лежащего на дальнем от текущей точки крае цилиндра. Заряд кольца $2xQ/H$ . Расстояние до точки наблюдения $L\approx\sqrt{R^2+H^2/4}$ . Тогда поле кольца на оси:

E_x(x)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac QH2x\cdot\frac1{L^2}\cdot\frac12\frac HL=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac Q{L^3}x.

Вычислим величины потоков: $\Phi_\text{осн}$ через основание и $\Phi_\text{бок}$ через боковую поверхность гауссова цилиндра:

\Phi_\text{осн}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac Q{L^3}x\cdot\pi r^2,\qquad\Phi_\text{бок}=2\pi r\cdot2x\cdot E_r(r).

По теореме Гаусса $2\Phi_\text{осн}+\Phi_\text{бок}=0$ , значит

2\pi r\cdot2x\cdot E_r(r)=-2\cdot\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac Q{L^3}x\cdot\pi r^2.

Отсюда получаем, что в плоскости кольца при смещении $r$ из центра величина вектора напряженности пропорциональна смещению

E_r(r)=-\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac Q{2L^3}r.

Уравнение движения бусинки:

m\ddot r=qE_r(r)=-q\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac Q{2L^3}r.

Частота гармонических колебаний

\omega=\sqrt{\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac qm\frac Q{2L^3}}=\frac1L\sqrt{\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma Q}{2L}},

Период

T=\frac{2\pi}\omega=2\sqrt2\pi L\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0L}{\gamma Q}}.

Оригинал в Архива: finalT17.pdf